推 Intercome :多謝 07/24 17:13
※ 編輯: JohnMash 來自: 112.104.129.241 (07/24 23:53)
※ 引述《Intercome (今天的我小帥)》之銘言：
: 若多項式f(x)對於所有的實數x滿足f(x+1)-2f(x)+f(x-1)=x+1，
: 且f(0)=0，f(1)=1，求f(x)=__________。
: Ans: x^3/6 + x^2/2 + x/3
f(2)-2f(1)+f(0)=2
f(3)-2f(2)+f(1)=3
f(4)-2f(3)+f(2)=4
..................
f(n-2)-2f(n-3)+f(n-4)=n-2
f(n-1)-2f(n-2)+f(n-3)=n-1
f(n)-2f(n-1)+f(n-2)=n
-----------------------------------------
f(n)-f(n-1)-f(1)+f(0)=2+3+....+n
f(n)-f(n-1)=n(n+1)/2
f(n)=(1/2)Σ(n^2+n)
=(1/2)[n(n+1)(2n+1)/6 +n(n+1)/2]
=(1/2)n(n+1)(2n+1+3)/6
=n(n+1)(n+2)/6
and f(x) is a polynomial
hence,
f(x)=x(x+1)(x+2)/6
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新梗題 good question
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