Re: [微積] 一題極限

[znmkhxrw (QQ)]

※ 引述《hsnuyi (羊咩咩~)》之銘言：
:        cos(2x)      1
:  lim [---------]^(-----) = ?
: x->∞   cos(x)     x^2
: 稍微觀察一下 答案似乎是1 但是無法寫出詳細過程
: 有試過用夾擠和指數化看看能不能用l'Hospital 不過似乎不行(?)
: 懇請各位幫忙解答囉~

1. x=2npi , we know the answer is 1

2. Assume f(x) → 1 , as x→+inf

   then for e  , there exists d_e > 0 , s.t. when  x > d_e

   we have │f(x) - 1│ < e

   take e = 1 , we have  │f(x)│-1 =< │f(x) - 1│ < 1

   so │f(x)│ < 2  , implying f is bounded for all x > d_1

   this is contradictory to f is not bounded

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◆ From: 59.116.171.249
→ znmkhxrw    :如果答案是1的話我就沒辦法了= =
推 hsnuyi      :@_@
→ znmkhxrw    :我跑wolfram的圖形發覺他會bounded
→ znmkhxrw    :可是在(cos2x)/cosx 爆掉的點：pi/2 + npi 中
→ znmkhxrw    :爆掉的有+inf也有-inf,負的開方有虛部 不屬於Real
→ znmkhxrw    :可是+inf開有限次方會是+inf 我也不知道為啥他會
→ znmkhxrw    :這樣畫
→ hsnuyi      :嗯... 不知道該說什麼欸 ><
→ znmkhxrw    :我剛剛跑了很多數據 用x=(pi/2) + 2pi
→ znmkhxrw    :然後用右極限確保是正無限大
→ znmkhxrw    :由於x=7.8539816.... 就是(pi/2) + 2pi那串
→ znmkhxrw    :然後我就帶比x大一點點的數(右極限) 發現不管大多小
→ znmkhxrw    :跑出來的值都很接近1....
→ znmkhxrw    :可是我直接叫他幫我算右極限時..他給我的答案也是inf
→ hsnuyi      :所以說... 話說原function是bounded吧? 那這篇證明..
→ hsnuyi      :那考試時該怎麼寫呢? @_@
→ znmkhxrw    :別看wolfram了 , 我的證明中 , for all x > d_1
→ znmkhxrw    :在x > d_1的範圍理 一定存在讓(cos2x)/cosx爆掉之點
→ znmkhxrw    :取爆到+inf的 就可以證出矛盾了吧
→ znmkhxrw    :如果這題的答案確定是1了  我也很想知道原因= =
→ hsnuyi      :嗯嗯 那謝謝囉 電腦不可全信 還是要有嚴謹的數論證明