※ 引述《Griffey168 (能發呆就是福！)》之銘言：
: 證明：當m>3 時
: 2^m≧m^2
: 謝謝！
一. 若m為整數,用數學歸納法
1.當m=4時, 2^4 ≧ 4^2, 成立
2.假設m=k>4時,2^k ≧ k^2 成立
3.當m=k+1時, (k+1)^2 = k^2 + 2k +1 ≦ 2^k + 2k + 1 < 2^k + 2^k = 2^(k+1)
(*)
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(*) 當 k≧4時, 2k+1 < 2^k
a. 當 k=4, 2*4+1=9 < 2^4=16 ,成立
b. 假設 k=i>4, 2i+1 < 2^i 成立
c. 當k=i+1, 2(i+1)+1 = (2i+1) +2 < 2^i + 2 < 2^i + 2^i = 2^(i+1)
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二.若m為實數, 滿足 2^m ≧ m^2 的區間應該是 4≦m＜+∞
設f(m) = 2^m - m^2
f(4)= 2^4 - 4^2 = 16 - 16 =0
f'(m) = ln2 * 2^m - 2m
f''(m) = (lm2)^2 * 2^m - 2
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顯然f''(m)遞增 且 f''(4) ≒ 5.687 > 0
=>f''(m) > 0 => f'(m) 遞增
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又f'(4) ≒ 3.09 >0
=> f'(m) > 0 => f(m)遞增
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f(m)遞增且f(4)=0
=>f(m) ≧ 0 , m≧4
=>2^m - m^2 ≧ 0 , m≧4
即 2^m ≧ m^2 , m≧4
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◆ From: 111.249.9.21
※ 編輯: alasa15 來自: 111.249.15.197 (10/28 20:20)