[代數] subgroup

[jason8002 (一個人一杯咖啡)]

http://math.ntnu.edu.tw/~li/algebra-html/

以上擷取我有疑問的片段

Proposition 1.3.5   給定一個 ``finite'' group G, 且 H 為 G 中的一個非空的子集
. 則 H 是 G 的 subgroup 若且為若在 G 的運算之下 H 是 closed.


証 明. 我們僅要證明當 H 在 G 的運算下是 closed 則 H 是 G 的 subgroup.

 然而利用 Lemma 1.3.3, 因為已知 H 在 G 的運算下是 closed,

 所以要證明H 是 G 的 subgroup 我們只要證明給定任何的 a包含於H

皆有 a^(-1) 包含於 H 就可. 若 a 包含於 H, 因 H 在 G 的運算下是closed,

 故 a^2 = a * a包含於H, a^3 = a * a2 包含於 H, ....

Q1:之前的內容 作者說*是一個運算,

但在此證明 卻把這*運算當乘法用?這樣證明合理嗎?

這樣一直下去我們可得對任一的 n包含於N(自然數) ,

皆有 a^(n)包含於H. 然而 G 只有有限多個元素, 而 H 是 G 的一個子集合,

 所以 H 必只有有限多個元素. 換句話說 {a, a^2, a^3,...a^(n),...}

這些 H 的元素一定不可能兩兩相異.

 所以可以找到兩個相異的整數 m 和 n 使得 a^(n) = a^(m)

Q2:此句話不太懂他的理論...

不失ㄧ般性, 我們假設 m > n. 等式兩邊同乘 (a^(n))^(-1),

 我們得 a^(m - n) = e. 如果 m - n = 1, 這表示 a = e,

所以 a^(-1) = e = a包含於H. 如果 m - n > 1, 則 m - n - 1 包含於N(自然數) .

 故知 a^(m - n - 1)包含於H. 再由 a^(m - n) = e

知 a(m - n - 1) * a = a * a^(m - n - 1) = e.

 故得 a^(-1) = a^(m - n - 1)包含於H.

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◆ From: 122.116.117.59
→ suhorng     :1.我猜並沒有把它當乘法用 只是一個符號而已表示*那
→ suhorng     :  多次
→ suhorng     :2.先只考慮 a, a^2, ..., a^n, .... G是一個finite
→ suhorng     :  group, 當中只包含有限個元素, 所以 a, a^2, a^3,
→ suhorng     :  ... 一定也只有有限個元素出現過, 然後這些元素又
→ suhorng     :  全部屬於H這樣
→ jason8002   :1.可是他有做同乘的動作耶
→ jason8002   :2.那他設N跟M的動作是表示每個元素的唯一性跟
→ jason8002   :證明inverse存在
→ jason8002   :是嗎?
→ ricestone   :那不叫同乘，那叫兩邊同時作一樣的運算
→ lockheart   :不要只侷限在加跟乘阿，那只是個定義好的抽象運算。
→ jason8002   :樓上大大這樣講我就理解了Q1 那Q2..@@"
→ jason8002   :不知道Q2問題中的等號怎麼出來的
→ ricestone   :鴿籠原理
→ suhorng     :因為不可能全部相異,所以一定有相等的元素,他就設箱
→ suhorng     :等的那兩個元素分別為 a^n 和 a^m
→ suhorng     :只是忽然覺得他說 "同乘 (a^n)^{-1}" 給人的感覺好像
→ suhorng     :預先假定了 (a^n)^{-1} 存在 H 中...雖然不是這樣.
→ lockheart   :如果H的元素個數是n，則透過證明過程會得a^(n+1)
→ lockheart   :會是H裡的某個元素，意思就是說 a^t = a^(m+1)
→ lockheart   :for some t<=n，
→ lockheart   :                                    a^(n+1)
→ jason8002   :可是它是一個a做*運算的序列不是?
→ ricestone   :如果每次都不同，那你作比H元素個數還要多次就超過了
→ jason8002   :他是說H是有限個數阿N個 怎麼會透過證明過程得到
→ jason8002   :a^(n+1)應該是a^n吧
→ lockheart   :G is finite and H is a subset of G.
→ jason8002   :"是說G裡的某些元素一定會等於H裡的某些元素"嘛?
→ lockheart   :是說H裡面所有元素的表示方法其實用有限個就能講完的
→ lockheart   :但是a跟自己運算很多次也都會是H裡面的元素
→ jason8002   :那是closed under
→ ricestone   :你要不要重新敘述一下你的Q2是怎麼個不懂法啊？
→ jason8002   :不懂a^t=a^(n+1)得等號怎麼來的
→ ricestone   :你能接受H有限嗎？
→ jason8002   :因為他是證明G得運算下H是closed
→ jason8002   :能接受 但是感覺你是在H是closed的情況下解釋
→ jason8002   :a^t=a^(n+1)
→ ricestone   :你搞錯了，他本來就是證右往左
→ ricestone   :左往右是顯然
→ jason8002   :!!是結果論喔
→ ricestone   :他是要確保滿足封閉就會有反元素在裡面
→ jason8002   :瞭解了 謝謝板上各位大大˙ˇ˙
→ ricestone   :其實它的證明第一句就講了...
→ jason8002   :看到那等號我就當機了
推 jetzake     :他只是在"無限個a的次方數中 找出兩個相等的"
→ jetzake     :後續甚至可以證明a的某次方必會和自身相等這樣