推 G41271 :這樣不就是硬幹 07/29 09:16
※ 引述《mqazz1 (無法顯示)》之銘言：
: [ 4 1 0 0 1 ] [cos( θ+ψ)]
: [ 1 4 1 0 0 ] [cos(2θ+ψ)]
: B = [ 0 1 4 1 0 ] x = [cos(3θ+ψ)]
: [ 0 0 1 4 1 ] [cos(4θ+ψ)]
: [ 1 0 0 1 4 ] [cos(5θ+ψ)]
: [b]
: [0]
: Bx-ax = [0], a,b,c屬於R, where(a,b,c)=? (express in terms of θ and ψ)
: [0]
: [c]
: 請問這題要怎麼解呢?
: 謝謝
把 Bx-ax 乘開可得
4cos(θ+ψ) + cos(2θ+ψ) + cos(5θ+ψ) - acos(θ+ψ) = b ...(1)
cos(θ+ψ) + 4cos(2θ+ψ) + cos(3θ+ψ) - acos(2θ+ψ) = 0 ...(2)
cos(2θ+ψ) + 4cos(3θ+ψ) + cos(4θ+ψ) - acos(3θ+ψ) = 0 ...(3)
cos(3θ+ψ) + 4cos(4θ+ψ) + cos(5θ+ψ) - acos(4θ+ψ) = 0 ...(4)
cos(θ+ψ) + cos(4θ+ψ) + 4cos(5θ+ψ) - acos(5θ+ψ) = c ...(5)
(2) + (3) + (4)可得
cos(θ+ψ) + 5cos(2θ+ψ) + 6cos(3θ+ψ) + 5cos(4θ+ψ) + cos(5θ+ψ)
= a[cos(2θ+ψ) + cos(3θ+ψ) + cos(4θ+ψ)] ...(6)
其中cos(2θ+ψ) = cos(3θ+ψ - θ)
= cos(3θ+ψ)cos(θ) + sin(3θ+ψ)sin(θ)
cos(4θ+ψ) = cos(3θ+ψ + θ)
= cos(3θ+ψ)cos(θ) - sin(3θ+ψ)sin(θ)
可得 cos(2θ+ψ) + cos(4θ+ψ) = 2cos(θ)cos(3θ+ψ) ...(7)
同理 cos(θ+ψ) + cos(5θ+ψ) = 2cos(2θ)cos(3θ+ψ)
= 2[2cos(θ)^2-1]cos(3θ+ψ)
= [4cos(θ)^2 -2]cos(3θ+ψ) ...(8)
將 (7) (8) 代入 (6)整理可得
[4cos(θ)^2 -2 + 10cos(θ) + 6]cos(3θ+ψ) = a[2cos(θ) + 1]cos(3θ+ψ)
2[2cos(θ)^2 + 5cos(θ) + 2] = a[2cos(θ) + 1]
2[2cos(θ) + 1][cos(θ) + 2] = a[2cos(θ) + 1]
a = 2cos(θ) + 4
將 a 代入 (1) (5)可得
b = 4cos(θ+ψ) + cos(2θ+ψ) + cos(5θ+ψ) - acos(θ+ψ)
= -2cos(θ)cos(θ+ψ) + cos(2θ+ψ) + cos(5θ+ψ)
= -2cos(θ)cos(θ+ψ) + cos(θ+ψ)cos(θ) - sin(θ+ψ)sin(θ) + cos(5θ+ψ)
= -[cos(θ+ψ)cos(θ) + sin(θ+ψ)sin(θ)] + cos(5θ+ψ)
= -cos(ψ) + cos(5θ+ψ)
c = cos(θ+ψ) + cos(4θ+ψ) + 4cos(5θ+ψ) - acos(5θ+ψ)
= cos(θ+ψ) + cos(4θ+ψ) - 2cos(θ)cos(5θ+ψ)
= cos(θ+ψ) + cos(5θ+ψ)cos(θ) + sin(5θ+ψ)sin(θ) - 2cos(θ)cos(5θ+ψ)
= cos(θ+ψ) - [cos(5θ+ψ)cos(θ) - sin(5θ+ψ)sin(θ)]
= cos(θ+ψ) - cos(6θ+ψ)
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