[微積] 微積分基本定理

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微積分基本定理講說

if f€C[a,b]

             x
then A(x) = S f(t) dt is a C^1 function on [a,b] and A'(x) = f(x)
             a
                                           x
Moreover, if F'(x) = f(x) on [a,b] , then S f(t) dt = F(x) - F(a) on [a,b]
                                           a


而我們很容易舉出一個不連續函數 on [a,b] is integrable

            x
but A(x) = S f(t) dt 不可微
            a


但是 如果有以下條件：

if F(x) 可微但不是C^1 on [a,b]

      x
then S  F'(x) dx = F(x) - F(a) 會成立嗎???
      a


這個問題如果F是C^1, then F'(x)就是連續   微積分基本定理就能用 就成立

可是如果F不是C^1呢？



總結一下
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if f 不連續但在[a,b] 可積

      x
then S f(x) dx 不一定可微
      a


但是

if F 可微 但F'不連續  but F'在[a,b]可積

      x
then S  F'(x) dx 是否一定可微??? (因為如果它等於F(x) - F(a) 則一定可微)
      a


換言之就是能否證出它等於 F(x) - F(a)

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◆ From: 140.114.34.252
→ wickeday    :沒這麼複雜，FTC的證明本來就不需要F'是連續的
→ wickeday    :你在仔細看看課本，它只用到F'可積而已。
→ znmkhxrw    :沒有吧  確實是用連續來證
→ wickeday    :那就參考一下維基的證明吧：http://ppt.cc/ejWY
→ wickeday    :只用到MVT和F'黎曼可積而已。
→ wickeday    :是說我還真沒印象哪種證明非用到連續性不可…
推 herstein    :MVT需要連續性