Re: [微積] 微積分基本定理

[keroro321 (日夕)]

※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：

:"" if F 可微 (但F'不連續)  but F'在[a,b]可積 (Riemann integrable)
:       x
: then S  F'(x) dx 是否一定可微??? ""
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可以在"你的假設"得到一個肯定的回答

        x
       ∫  F'(x) dx = F(x) - F(a)
        a

但這似乎無法只在微積分的課程得到證明. ---->我這句話是錯的
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原問題的留言有提供簡單證明的網頁,用以下定理是大材小用.

http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_calculus

   Proof of the second part (Fundamental theorem of calculus)

只需用MVT 跟 limit 就可以簡單證明囉

謝謝網友 wickeday
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以下只要介紹一個定理,馬上就能得到你要的答案. (這前後幾個定理,都是維積
分基本定理更深入探討)

W.Rudin : Complex and Real Analysis (3th Edition) , Page 149, Thm 7.21

可以簡單得到一個結論

if
   (i)  f is differentiable on [a,b] .
   (ii) |f'(x)| is bounded on [a,b].
                 x
then f(x)-f(a)=L∫ f'(t)dt 這邊L代表 Lebesgue 積分
                 a
在你的例子上

   Because f'(x) is Riemann integrable on [a,b] (compact)
   so
          |f'(x)| is bounded

                        x             x
   hence    f(x)-f(a)=L∫ f'(t)dt = R∫ f'(t)dt
                        a             a

   這邊L代表 Lebesgue 積分 , R 代表 Riemann 積分



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◆ From: 61.216.151.190
※ 編輯: keroro321       來自: 61.216.151.190       (07/30 23:24)
推 znmkhxrw    :謝謝~
推 sato186     :GOOD!
※ 編輯: keroro321       來自: 61.216.151.190       (07/31 01:06)
※ 編輯: keroro321       來自: 61.216.151.190       (07/31 01:07)
推 znmkhxrw    :我發覺我查的時候是中文版  他條件有conti. XD
→ keroro321   :呵呵