[中學] 多項式係數

[mqazz1 (無法顯示)]

1 / (1-x)(1-x^2)(1-x^3)

求x^30的係數


請問這要怎麼求呢?

另外如果用離散數學的生成函數有辦法解嗎?

謝謝

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 218.166.117.3
→ ricestone   :是長甚麼樣子？  如果說用等比級數展開去作呢？
→ suhorng     :他給的不就是生成函數 ? 答案是 x+2y+3z=30 的非負整
→ suhorng     :數解, = Σ_{k=0}^10 [(3k)/2 + 1],  []是高斯符號
→ suhorng     :      = 91
請問 x+2y+3z=30的非負整數解 是怎麼解到91的@@?

如果用分部分式 a/(1-x) + b/(1-x^2) + c/(1-x^3) 有辦法解到91嗎?
推 suhorng     :原式=1/(1-x) * 1/(1-x^2) * 1/(1-x^3) = (1+x+x^2+
→ suhorng     :x^3+...)(1+x^2+x^4+x^6+...)(1+x^3+x^6+x^9+x^12..)
→ suhorng     :所以是x+2y+3z=30的非負整數解. 可以看出 p+2q=r 的
→ suhorng     :(p,q)非負整數解個數是 [r/2],所以x+2y+3z=30的非負
→ suhorng     :整數解個數就是Σ_{k=0}^10 [(3k)/2 + 1] = 91了.
我好像沒看過這種解法耶..我用的是黃x嘉的書
→ suhorng     :部分分式...抱歉 有點懶得算XD
→ suhorng     :不過分出來就差不多解完了. 還有一開始假設建議假設
→ suhorng     :抱歉 沒事 請無視上面這行orz
我是有用部分分式解 可是解不出來


         1               a      b       c
-------------------  =  --- + ----- + -----
(1-x)(1-x^2)(1-x^3)     1-x   1-x^2   1-x^3

                        a(1-x^2)(1-x^3) + b(1-x)(1-x^3) + c(1-x)(1-x^2)
                     =  -----------------------------------------------
                                  (1-x)(1-x^2)(1-x^3)

1  =  a(1-x^2)(1-x^3) + b(1-x)(1-x^3) + c(1-x)(1-x^2)

x = -1,  1 = 0 + b(2)(2) + 0,  1=4b,  b = 1/4

x =  0,  1 = a + b + c,  3/4 = a+c, 9/4 = 3a+3c

x =  2,  1 = a(-3)(-7) + b(-1)(-7) + c(-1)(-3) = 21a + 7b + 3c

         1-7b = 21a+3c, -3/4 = 21a+3c

3 = -18a, a=-1/6, c= 3/4 + 1/6 = 11/12


-1/6    1/4    11/12
---- + ----- + ------  我解到這邊就卡住了..
1-x    1-x^2   1-x^3
※ 編輯: mqazz1          來自: 61.228.27.118        (08/02 20:30)
→ suhorng     :把 x^3 看成 t, 那 1/(1-t)=1+t+t^2+...=1+x^3+x^6..
→ suhorng     :部分分式是不是錯了?不如分別假設成A,Bx+C,Dx^2+Ex+F
→ suhorng     :另外我修正20:13的推文 (p,q)的非負整數解是 [r/2+1]
→ suker       :部分分式一開始就令錯了 所以不用看