Re: [中學] 高中數學先修班題目

[XII (Mathkid)]

※ 引述《ewai (down到谷底)》之銘言：
: 這是補習班講義裡的題目：
: 若a+b=8
:   ax+by=9
:   ax^2+by^2=57
:   ax^3+by^3=111
: 求ax^4+by^4=??
:                            Ans:453
: 我的想法是要用乘法公式中的平方差公式，
: 式子列出來後就卡住了，不知如何繼續......
: 我自己試過用代的
: 可以解出來：a=5,b=3,x=3,y=-2,
: 總不能每次遇到這種題目，
: 都一個一個答案慢慢假設去代出來吧。
: 請各位高手幫幫忙！！       謝謝~


如果不限制國中方法的話

設所求為t,則

    ∣ 8   9  57｜ ∣ 8   9    57 ∣
0 = ∣ 9  57 111｜=｜ 1  48    54 ∣ => t=453
    ∣57 111  t ｜ ∣ 0   0  t-453∣


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◆ From: 118.166.194.179
推 steve1012   :可以講一下原理嗎＝＝
推 JMLiang     :我不知道原理,但你可以把數字還原成a+b,ax+by,...等
→ JMLiang     :就可以發現這個行列式值要等於0,因此這方法可行.
→ JMLiang     :但如何發現的這方法的,可能要解答者出來解答吧...
推 jetzake     :第一行是a ax ax^2 加上b by by^2 ....這樣推??
推 jetzake     :類似克拉瑪公式 把x和y的次方全當作常數??
→ jetzake     :雖然直接全寫出來爆破也是可以 但能想到也是很神...
→ bugmens     :a[n]=ax^n+by^n , a[n]=1*a[n-1]+6*a[n-2]
→ bugmens     :|a[0] a[1] a[2]|
→ bugmens     :|a[1] a[2] a[3]|
→ bugmens     :|a[2] a[3] a[4]|
→ bugmens     :第一列乘6倍加到第二列會成第三列相等,故行列式為0