Re: [中學] TRML..完全平方數問題

[jurian0101 (Hysterisis)]

※ 引述《ntucc (整個想完蛋..好累!)》之銘言：
:    前一題柯西感謝提示～已經解出....
:    又有一題 n x 2^n-1 +1 為一完全平方數. n為正整數
:    試問符合之所有n  ？
:    我用代數字的得到一解是n=5  可是我應該是要確認他在5之後沒有正整數解
:    請問有蛇麼方法可以說明嗎？....


  設 n 2^(n-1) + 1 = a^2

 → n 2^(n-1) = (a+1)(a-1), a必奇, 設a=2b+1
 → n 2^(n-3) = b(b+1)

 分開討論，若 n|b, 設b=kn, k>0

 -> 2^(n-3) = k (kn+1)

 k 和 kn+1必定一奇一偶，故必有k=1,

 但這樣 2^(n-3) = n+1 沒有整數根 (勘根可知 5<n<6)



 所以 n|b+1

 -> 2^(n-3) = (kn-1) k ,同理但這時有可能是kn-1 = 1 或 k=1

 前者明顯不合，所以只有2^(n-3) = n-1

 方程式只有n=5一根  ■


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ps 其實我是從 5 * 2^4 +1 = 81 的式子倒推回來的，說破沒價值XD

 → 5 * 2^(5-3) = 4 * 5

 → 2^(5-3) = 4 * 1













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◆ From: 218.164.9.119
→ keroro321   :n 不一定整除 b 或 b+1 喔
→ keroro321   :應該說 2^max|n*2^(n-3) => 2^max|k 或 2^max|k+1
→ keroro321   :所以只要計算多大的n 使得 2^(n-3) > n+1即可. (n>6)
→ keroro321   :所以只要去 check n<7
推 madguy      :是不是應該說，b或b+1其中的奇數可以整除n，再用比大
→ madguy      :小的方式去排除n>6的情形。