[中學] 非週期函數的證明

[pentiumevo (神秘數學組織SIGMA)]

題目:證明 sin |x| 與 sin (x^2) 都不是週期函數

我的作法是這樣的
            sin x    x>=0
1. sin |x|=
            -sin x   x<0

設T是sin |x|的週期,則應有 sin 0 = sin T  => sin T = 0

                                         => T = pi
        -3 pi             -3 pi
但 sin|-------| =/= sin |------- + pi|
         2                  2

所以T不存在

2.設T是 sin (x^2) 的週期,則應有 sin 0 = sin (T^2) => sin (T^2) = 0

                                                  => T^2 = pi

                                                  => T = sqrt(pi)
         sqrt(pi)               sqrt(pi)
但 sin[(----------)^2] =/= sin[(-------- + sqrt(pi) )^2]
          sqrt(2)                sqrt(2)

所以T不存在


請問我這樣做對嗎?謝謝.

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.114.32.189
→ ricestone   :1.這樣寫的話T不一定只有pi
→ ricestone   :2.一樣T^2不一定只有pi
1.不過找不到比 pi 更小而可以使 sin T = 0的T呀! 所以 T = pi ,我是這樣想的

2.也是類似1的想法.
※ 編輯: pentiumevo      來自: 140.114.32.189       (08/04 16:28)
→ ricestone   :不對，你把你的推論放到Sin(x)看看
→ ricestone   :實際上Sin(x)週期是2pi
→ ricestone   :你推出來的是"最小可能"而不是真的就是那個值
→ ricestone   :對了，你1.的絕對值函數展開寫錯了，是變Sin(-x)
→ ricestone   :啊...樓上那行我自己腦袋打結不要理我...
→ alasa15     :1.根據你的假設推出的結論會是T=n(pi),n不一定為1
→ pentiumevo  :有人可以告訴我一個完整的證明嗎？謝謝。