Re: [代數] the centralizer of a

[TassTW (塔矢)]

※ 引述《jason8002 (一個人一杯咖啡)》之銘言：
: 用英文查了一下
: 扶正者?
no, 沒有人會講這個
每個人都是講英文 centralizer

: 據我了解
: 他是
: C(a)={g包涵G | g*a=a*g}
        包含於
: 就是給定一個a包含於G
: 我們可以找到g在G裡面並跟a符合交換律的性質
: 我們稱之為 the centralizer of a.
: 但是跟這個 centralizer 有什麼關係?

1.
你需要"先"知道的是 center
G 中的 center 寫作 Z(G)
即是那些 "可以和 G 中所有元素交換" 的元素
真的寫出來就是

    Z(G) = { x in G; gx = xg for all g in G }

一般來說任意元素 a in G 不會落在 center Z(G) 中
但我們必定可以找 centralizer of a 讓 a 落在 C(a) 的 center 中

2.
大學部代數中, 學 centralizer 最直接的用途是算 conjugacy class 的大小
即包含 a 的 conjugacy class 個數為 [G:C(a)]
學代數應該要能自己由定義導出這件事

之後便能得到 class equation

    |G| = |Z(G)| + Σ [G : C(x_i)]

用 class equation 配合 Lagrange 定理就能瞬間得到一些定理
做的事情通常是計算 [G: C(x_i)] 的可能來對 Z(G) 的大小做限制
一旦得出 |Z(G)| = |G|, 便能知道 G 是交換群

3.
在有限群的研究中, 觀察 self-centralizing subgroups 也頗有用
不過我不是這方面的專家, 有請其他人補充

4.
另一個相關的概念是 normalizer N(H) = { g in G; gH = Hg }
一般來說任意子群 H in G 不見得 normal ( gH = Hg for all g in G )
但我們必定可以找 normalizer of H 讓 H normal in N(H)

5.
大學部代數中, 學 normalizer 才能證明 Sylow 定理
是有限群論在群表現理論出現之前最強大且唯一的工具

6.
深一點的代數中, normalizer 也影響深遠,
比方說李代數第一個大定理是複半單李代數的分類定理,

簡單的講, 就是李代數 L 的 Cartan 子代數 H 在 L 上的作用夠好,
就像是向量空間 V 拆解成不同的 (generalized) eigenspaces 一樣,
推廣概念, 李代數 L 也可以拆解成不同的 weight spaces,
就可以用 Dynkin diagrams 來描述這些 weight
研究 Dynkin diagrams 並證明其對應, 便成功的將複半單李代數分類

而這一切都要歸功於 Cartan 子代數 H 夠好,
他的定義是什麼?
Nilpotent self-normalizing subalgebra

7.
再扯遠一點, 雖然 centralizer 在以後的用途好像沒那麼多,
但是 center 卻是會一直學到, 很重要的概念,
意義可以想成量度一個數學結構的可交換程度

實例, 不好意思我又舉個李代數的例子:
李代數表現論中, 兩個重要的結構是 Verma module M(λ) 和 simple module L(μ)

研究 L(μ) 出現在 M(λ) 中幾次是個結合代數幾何和表現理論的超級大難題
稱 Kazhdan-Lusztig conjecture, 在 1980 年左右由 Beilinson-Bernstein 解出,
印象中是個 1983 ICM talk (對, 就是那個頒 fields 獎的會)

省略技術面, 這個問題的基礎建立在 Harish-Chandra 定理上
定理敘述是 Z(L) 和 S(H)^W 作為 algebra 同構, 其中

Z(L)   是 center of the universal enveloping algebra of L
S(H)^W 是 symmetric algebra on H 上, 在 Weyl group 作用下不變的結構

8.
........好像扯太遠了
總之學代數不要只看定義,
一來要知道課本定義背後藏了什麼東西
二來要能夠真的計算實際的群,
我大力推薦初學者把對稱群 Sn 作為研究主體
把所有你看到的抽象定義都算一遍看看 G = Sn 的特例為何

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                   「我們愛星星至深無懼於黑暗。」

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 218.166.176.140
推 ijsfkira    :推~
推 rich780501  :可以推薦初學者看得代數書嗎?  感謝!!
※ 編輯: TassTW          來自: 218.166.11.61        (08/07 09:24)
推 jason8002   :推 我是代數初學者@@"
推 Vulpix      :真的要推這篇　　　　　　　　　　　　還有，是屬於
→ TassTW      :contained in 作為英文而不是集合屬於應該可以吧 xDD
→ TassTW      :另外我沒有推薦的大學代數書, 都不是很滿意
→ TassTW      :研究所代數的話, dummit & foote 還蠻具體的
推 hcsoso      :同樣推 dummit and foote, 相當合適. 大學部可以選讀
推 euphrate    :大學部應該以大量的具体實例為主 大部分主流書的不合
→ euphrate    :D&F 很雜 野心很大(又要具体又要抽像) 常會兩頭空...
→ Vulpix      :我說的是在這篇很上面的那個「包含於」