[微積] ∫lnx dx , x=0 to 1

[znmkhxrw (QQ)]

 1                             1
∫ lnx dx is defined by  lim  ∫ lnx dx , for 0 < a < 1
 0                      a→0+  a

其值是-1



而我們知道

如果 f(x) 在 [a,b] 可積 , 積分結果是 A

則任取partition P , 當││P││ → 0 時 ,

f在其interval的值任取一點   得到的 R(f,P) 皆是 A


所以方便計算時  我們可以取 P={x_0 < x_1 < ... < x_(i-1) < x_i < .. < x_n}

where x_0 = a , x_n = b , x_i - x_(i-1) = (b-a)/n

且取的函數值是右端點或是左邊點

算出的結果均是 A


現在我們把f(x)當成ln(x) , [a,b] 當作 [a,1]

因為lnx在[a,1]可積

取上述partition P  , 且取右端點

我們有

 1
∫ lnx dx
 a

         1     n        1-a
=  lim ─── Σ ln(a + ── k )
  n→∞  n    k=1        n


而因為       1
      lim   ∫ lnx dx 存在
      a→0+  a

所以

              1     n        1-a
=lim    lim ─── Σ ln(a + ── k ) 存在  且等於 -1
 a→0+ n→∞  n    k=1        n


問題來了

為何可以把 lim  先擺進去 也就是我們常見的
          a→0+


           1     n      k
=    lim ─── Σ ln( ──) 存在  且等於 -1
    n→∞  n    k=1     n

--------------------------------------------------

我目前想法是：

先簡化一下符號

            1
Let f(x) = ∫ lnt dt
            x

then f(x) is continuous on [0,1] by defining f(0) =  lim f(x)
                                                    x→0+

                   1     n        1-x
and let f_n(x) = ─── Σ ln(x + ── k )  €C[0,1]
                   n    k=1        n

then  f_n(x) is convergent to f(x) pointwisely on (0,1] ----(*)


我們想證的是(*)中  在{0}是否成立

i.e. Is  f_n(0) convergent to f(0) = -1


用均勻收斂去想似乎沒啥相關

而且也有反例

Let f(x) = 0 €C[0,1]

    f_n(x) = (1-x)^n €C[0,1]

    f_n(x) is convergent to f(x) = 0 pointwisely on (0,1]

But f_n(0) 卻是收斂到 1

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◆ From: 111.243.157.107
推 s3300046    :∫ lnx dx 從a積到1其實可以算
→ s3300046    := x(lnx) - x 上下限再代a跟1 = -1+a-a(ln a)
→ s3300046    :最後再讓a趨近到0+即可得到-1
推 oNeChanPhile:by Fubini's theorem 保證可以交換
→ znmkhxrw    : Fubini's theorem 不是講double integral ??
→ oNeChanPhile:慘 說錯 請不要理我 @@
→ oNeChanPhile:http://0rz.tw/TVXG9  第一頁的第一個定理~
→ znmkhxrw    :THX~