[代數] equivalence relation

[jason8002 (一個人一杯咖啡)]

我們說

a~b表示a與b同類,簡單來說要符合三項性質:

1. (reflexivity).對所有a屬於S,我們都有a~a.

2.(symmetry).若a~b,則b~a.

3.(transitivity).若a~b,則b~c,則a~c.

若把這equivalence relation運用到group來看的話

問題來了

為何他說:如果a^-1*b屬於H,則我們說a和b是同類(用封閉性很容易看得出來)

Q1:但為何不是a*b屬於H去看,則我們說a和b是同類

跳到Lagrange's Theorem

他又進一步解釋,運用equivalence relation證明

H 是一個 finite subgroup, 則和 a 同類的元素的個數和 H 的元素個數一樣多.

證明:若a和b同類,則表示a~b.故a^-1*b=h且h屬於H.所以b=a*h屬於a*H.反之,若b屬於a*H,

則表示在H中可找到一元素h使得b=a*h.故a^-1.b=h屬於H.也就是說a和b同類.

我的問號又來了

為何表示a~b.故a^-1*b=h且h屬於H.所以b=a*h屬於a*H

                     為什麼不是(b=a*h屬於H)怎麼是元素跟集合在運算?



還有一個小插曲:

讀了一陣子代數

為何group的定義裡沒有交換律

而要提出來另外設為abelian group?





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◆ From: 122.116.117.59
→ ljy302018   :我的想法是 這些定義 都是為了商群而生吧
→ ljy302018   :至於a*H 你只要把她當成是一個與a相關的H的子集就好