※ 引述《jason8002 (一個人一杯咖啡)》之銘言：
: 我們說
: a~b表示a與b同類,簡單來說要符合三項性質:
: 1. (reflexivity).對所有a屬於S,我們都有a~a.
: 2.(symmetry).若a~b,則b~a.
: 3.(transitivity).若a~b,則b~c,則a~c.
: 若把這equivalence relation運用到group來看的話
: 問題來了
: 為何他說:如果a^-1*b屬於H,則我們說a和b是同類(用封閉性很容易看得出來)
: Q1:但為何不是a*b屬於H去看,則我們說a和b是同類
在這裡我們希望H是一個subgroup,也就是說H也要是一個group才行
如果你考慮a*b in H是同類的話
那第1個 a~a => a*a=a^2 in H 無法表現出群定義上的強度
2 a*b in H => a~b => b~a => b*a in H 不是每個群都可以交換
在這個定義下無法說明群裡面的元素是等價關係
但如果是定義a^(-1)b in H 表示 a~b 的話
很容易可以檢驗出每個群裡面的元素是等價關係
這是很有用以及很有價值的
: 跳到Lagrange's Theorem
: 他又進一步解釋,運用equivalence relation證明
: H 是一個 finite subgroup, 則和 a 同類的元素的個數和 H 的元素個數一樣多.
: 證明:若a和b同類,則表示a~b.故a^-1*b=h且h屬於H.所以b=a*h屬於a*H.反之,若b屬於a*H,
: 則表示在H中可找到一元素h使得b=a*h.故a^-1.b=h屬於H.也就是說a和b同類.
: 我的問號又來了
: 為何表示a~b.故a^-1*b=h且h屬於H.所以b=a*h屬於a*H
: 為什麼不是(b=a*h屬於H)怎麼是元素跟集合在運算?
a*H是陪集(coset)的意思,不是元素跟集合運算
a*H:={a*h : h in H} (※陪集通常不是group,如果a不再H裡面)
這裡的a可能不在H裡,所以a*h不見得會在H裡
這裡是想證明 |a*H|=|H| (兩個集合元素個數相等)
: 還有一個小插曲:
: 讀了一陣子代數
: 為何group的定義裡沒有交換律
: 而要提出來另外設為abelian group?
交換律其實是一個很強的條件
也許有人會覺得在定義裡面如果加個交換律應該會顯得很自然
但其實不然
舉個例子:Sn (symmetric group of degree n>2) 是一個不可交換的群
如果你只是看這個群的定義、裡面的元素
可能會覺得怎麼會想到要定義這種群?!
但其實這個群的定義是很自然而然的
例如有三個人A,B,C,我想要給他們編號1,2,3
我有6種(3!)不一樣的選擇,每一種選擇其實就對應著S3裡面的一個元素
很自然吧~
然後你把運算想像是今天先做完一次分配編號~明天再做一次
但是卻不可交換~
而且不可交換的群很多,也容易舉例(課本都會有例子)
如果把abelian作為自然的定義,不可交換就顯得是"特例"
但你又可以輕易地舉出不可交換的例子~這樣不是很奇怪嗎:)
以上是本人的拙見
如有錯誤請幫忙指證
謝謝^^
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