→ ilmvm0679 :閱 08/14 16:49
→ egg12388 : 覽 08/14 16:52
→ ilmvm0679 : 室 08/14 17:29
※ 引述《SansWord (是妳)》之銘言：
: 謝謝您的回應，我發現我的確問得很不清楚。
: 我再從另外一個角度描述一次問題。
: 我現在有 m個數字，x1 ... xm, 皆是在Zn之內的整數。
: 我用這些數字造出一個多項式：
: (x - x1 )(x - x2) ... (x - xm) = p(x)
: 那麼，現在有一個y
: p(y) ≡ 0 mod n
我想你似乎還是把mod跟Zn搞混了
假設我們有x,y是"整數"(integer),n是正整數
當 n|x-y 時,我們可以"定義" x ≡ y (mod n)
則"≡"是一個等價關係(equivalence relation)
所以我們可以把整數Z裡面的元素分成有限個(finite)等價類(equivalence class)
然後這些等價類可以一一對應到Zn裡面的元素 0,1,2,...,n-1
好,那現在來看
你定義 p(x)=(x - x1 )(x - x2) ... (x - xm), x1, ..., xm in Zn
則p(x)是在 Zn[x] 裡的元素
在你想要把y帶入p(x)時,y一定也要是Zn裡的元素,否則y-xi沒有意義
接著呢, p(y)=(y - x1 )(y - x2) ... (y - xm) in Zn
有注意到嗎 p(y)仍舊是Zn裡面的元素
那你所謂 p(y) ≡ 0 mod n 代表的是什麼意思呢?
想想看吧:)
: 那麼我可以確定y就是x1 ... xm 其中一個數字嗎？
: 我已經知道in general 不行了
: (x-2)(x-4) , 2, 4都屬於 Z8
: 可是 (6-2)(6-4) = 8 ≡ 0 mod 8，6不是根。
這裡所得出的8還是Z8裡的元素,不能再拿來做mod運算
你可以說因為在整數Z裡面, 8 ≡ 0 mod 8 (這裡8跟0是等價)
所以(6-2)(6-4) = 8 = 0 in Z8 (這裡8跟0是等於喔)
所以6也是這個方程式的根!!
一個很關鍵的原因就是Z8不是"integral domain"
如果Zp,p是質數的話
就不會有這個問題
例如 p(x)=(x-2)(x-4) in Z5 (i.e. p=5)
那p(x)就只有2,4兩個根 (你可以自行算算看)
: 如果要可以，這個n需要怎樣的性質？
有問題的話可以一起討論喔:)
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※ 編輯: egg12388 來自: 111.242.177.187 (08/14 16:46)
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