推 ntust661 :推啦> <! 08/14 20:57
※ 編輯: oNeChanPhile 來自: 114.27.8.196 (10/21 17:00)
※ 引述《mqazz1 (無法顯示)》之銘言：
: 1. There exists a square matrix with no eigenvectors
: False
特徵多項式 det(A-λI) 由代數基本定理保證至少有一個複數根
而該複數根至少會對應到一個 eigenvector。
當然這是在 complex number field 下才成立的
如果只考慮 real number field
那麼二維旋轉算子
[ cosθ -sinθ]
[ sinθ cosθ]
就不存在任何 a*e_1+b*e_2 形式的 eigenvector (a,b屬於R)
（看圖即知，對一般的θ來說，沒有一個向量在旋轉之後還能維持原方向的！）
: 2
: 2. Let A be a 3*3 matrix with characteristic equation (λ+1)(λ-2) = 0
: Then dimensions for the eigenspaces of A corresponding to the eigenvalues
: λ = -1 and λ=2 are 1 and 2, respectively
: False
geometric multiplicity 未必等於 algebraic multiplicity！
（加計 generalized eigenvector 原敘述才會對）
: 3. If B is an n*n matrix such that AB is invertible, then both A and B are
: invertible
: True
AB invertible <--> rank(AB) = n
又 rank(AB) ≦ rank(A) 及 rank(B)
故 rank(A) = rank(B) = n <--> A, B are invertible
: 請問這些是為什麼?
: 謝謝
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