推 egg12388 :是的,n要為質數,如果不是質數,n=st s,t in N 08/14 22:40
→ egg12388 :s,t>1 那在Zn裡面,st=n=0 in Zn. s,t是zero-divisors 08/14 22:42
→ SansWord :謝謝egg。這樣幫助很大。 08/15 14:16
推 egg12388 :不客氣。 08/15 14:18
※ 引述《egg12388 (微涼的風)》之銘言：
: ※ 引述《SansWord (是妳)》之銘言：
: : 謝謝您的回應，我發現我的確問得很不清楚。
: : 我再從另外一個角度描述一次問題。
: : 我現在有 m個數字，x1 ... xm, 皆是在Zn之內的整數。
: : 我用這些數字造出一個多項式：
: : (x - x1 )(x - x2) ... (x - xm) = p(x)
: : 那麼，現在有一個y
: : p(y) ≡ 0 mod n
: 我想你似乎還是把mod跟Zn搞混了
: 假設我們有x,y是"整數"(integer),n是正整數
: 當 n|x-y 時,我們可以"定義" x ≡ y (mod n)
: 則"≡"是一個等價關係(equivalence relation)
: 所以我們可以把整數Z裡面的元素分成有限個(finite)等價類(equivalence class)
: 然後這些等價類可以一一對應到Zn裡面的元素 0,1,2,...,n-1
: 好,那現在來看
: 你定義 p(x)=(x - x1 )(x - x2) ... (x - xm), x1, ..., xm in Zn
: 則p(x)是在 Zn[x] 裡的元素
: 在你想要把y帶入p(x)時,y一定也要是Zn裡的元素,否則y-xi沒有意義
: 接著呢, p(y)=(y - x1 )(y - x2) ... (y - xm) in Zn
: 有注意到嗎 p(y)仍舊是Zn裡面的元素
: 那你所謂 p(y) ≡ 0 mod n 代表的是什麼意思呢?
: 想想看吧:)
: : 那麼我可以確定y就是x1 ... xm 其中一個數字嗎？
: : 我已經知道in general 不行了
: : (x-2)(x-4) , 2, 4都屬於 Z8
: : 可是 (6-2)(6-4) = 8 ≡ 0 mod 8，6不是根。
: 這裡所得出的8還是Z8裡的元素,不能再拿來做mod運算
: 你可以說因為在整數Z裡面, 8 ≡ 0 mod 8 (這裡8跟0是等價)
: 所以(6-2)(6-4) = 8 = 0 in Z8 (這裡8跟0是等於喔)
: 所以6也是這個方程式的根!!
: 一個很關鍵的原因就是Z8不是"integral domain"
: 如果Zp,p是質數的話
: 就不會有這個問題
: 例如 p(x)=(x-2)(x-4) in Z5 (i.e. p=5)
: 那p(x)就只有2,4兩個根 (你可以自行算算看)
: : 如果要可以，這個n需要怎樣的性質？
: 有問題的話可以一起討論喔:)
了解了，我的確有點搞混 ≡ 和 mod的關係。
離開數學系一段時間，有些概念很混淆了....orz 感謝您的澄清。
當根的定義是 "帶入後使值為0的數"，那麼的確，我的例子中6也是此方程式的根。
不過這對我來說造成了困擾。
先說明一下我想要這麼做的意圖：
我想要解交集問題。
當p(y) = 0 時，
我就能確定 y 屬於 {x1 ... xm} 這個set。
可是當現在 p(x) in Zn, 而 p(y) = 0時，就不能確定y 是否屬於 {x1 ... xm}
例如我舉的例子， p(x) = (x-2)(x-4), p(6) = 0, 但 6 不屬於 {2,4}
當然如果我直接解p(x) 而不是p(x) in Zn時，就一定可以確保屬於關係成立。
但是實務上卻不容許我直接解p(x), 而是解p(x) in Zn會比較方便。
所以造成了我的困擾。
然後再來提一下我的觀察：
我發現我舉的例子中，會產生這樣的關係，是因為我要算p(x) in Z8
而Z8 有zero-divisor。 ( 2 * 4 = 0 in Z8)
而您說的p(x) in Z5, Z5就沒有zero-divisor。
也就是說當 a * b = 0 時，a =0 或 b = 0 這個Rules 在Z5成立。
所以我可以確認p(y) = 0 時，必定有一項 (y - xi) = 0，使得屬於關係成立。
所以現在比較明顯的條件是 當 我要求 p(x) in Zn時，若是沒有zero-divisor，則
成立。
那麼，一個Zn 要沒有zero-divisor，是不是只有 n 為質數的這個條件呢？
有沒有其他可能讓這個屬於關係仍能成立？
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抱歉我在語詞的使用上很不熟悉，離開數學系進入資科所很長一段時間了，對於這樣
的討論變得生疏，若是仍有描述不清楚之處，還請不吝指正。
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回憶不會消失...只會被蓋在灰塵下...
只要沒有風去吹動~~一切....就可以默默淡忘...
所以....不要成為那傷人的風吧.... ^.^
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