[代數] group representation或者trace的小問題

[Lanjaja ()]

最近有一段敘述一直想不懂
所以想上來求教
希望板上強者能夠解答

G_i是某個群裡面的元素

given representation D: G_i → D(G_i)

Prove character(或是trace) χ((G_i)^(-1)) = χ(G_i)* (共軛)

想請教一下強者如何證明這段話?



P.S.然後書上有一句小註解說It is evident in cyclic groups.

我連cyclic group這個特例都想不出來(有那麼evident?)


感謝強者的解答

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◆ From: 128.220.147.86
推 yusd24      :先試想 D(G_i) 是一個對角矩陣, |G|=n, cyclic
→ yusd24      :或是說 "D(G_i)的trace其實就是eigenvalue的和
推 yusd24      :對了...你這裡是有限群表示理論吧@@?
→ Lanjaja     :有時候書上說無限群的結果也一樣 我不知道這個地方是
→ Lanjaja     :不是一樣 不過通常應該是指有限群
→ Lanjaja     :可是假設是對角矩陣 D(G^-1) = diag[1/a_1 1/a_2..]
→ Lanjaja     :這樣trace和a_1+a_2+....只是共軛的關係嗎?
→ Lanjaja     :謝謝 cyclic group的特例我會證了 但是noncyclic
→ Lanjaja     :group的話 如果剛好是兩種generating elementA B的乘
→ Lanjaja     :積 那麼該如何證明呢?(就是一般的情況)
→ Lanjaja     :如果可以的話可以請yusd24提一下有限和無限群的結果
→ Lanjaja     :有什麼不同的地方嗎?  感謝回答
推 Vulpix      :compact group的話應該會一樣
→ Vulpix      :non-cpt.的話可以看Z： D(n)=2^n，D(-n)=1/(2^n)