[中學] 今天建中數資考題

[qeoip123 (GnRBSOZ)]

試題時間共80分鐘

填充題每題七分

1. 一個正100邊形，每個頂點上有一正數，每正數為相鄰兩數之算術平均數或
   幾何平均數。已知其中一頂點上為30，問與之相鄰的數？

2. 求一邊長為√29、√37、√52之三角形的面積

3. 已知 34     a     47
       ---- > --- > --- 問b之最小值
        109    b    151

4. 有一四面體，其三雙稜線為5.6.7，求四面體體積

5. 解方程式√(x-1/x) + √(1-1/x) = x

6. 有一由 1,2,3,4,5 組成的數列，若要組成每一項皆比前面所有項大，或皆比
   前面所有項小，問共有幾組

7. 已知三角形的三邊 a、b、c (a、b、c為正整數)為等比數列，且 a < b < c
   ，若 a=25，問(b,c)數對=？

計算證明題

1. 證明√(a^2 + 1/b^2 + a^2/(ab+1)^2) = | a + 1/b - a/(ab+1) |  (10分)

2. 計算√(1^2 + 2010^2 + 2010^2/2011^2) - 1/2011  (4分)

3. 已知a、b、c、d屬於{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，且a+b=cd，試求(a,b,c,d)共有幾
   解？  (17分)

4. 有一圓心為O，此圓內有接一四邊形ABCD，AC線段之中點I，為三角形ABD之內心。
   O、I不共點
   求證：(1) CB線段 = CI線段 = CD線段
         (2) 線段OI為三角形BID之外接圓的切線
         (3) AB線段 + AD線段 - BD線段 = 2AE線段 (E為I至AD邊的垂線)
         (4) AB線段 + AD線段 = 2BD線段
                                         (皆各5分)

今天去考的，題目順序可能有錯。
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◆ From: 219.84.218.45
※ 編輯: qeoip123        來自: 219.84.218.45        (08/15 21:50)
推 joshua5201  :哈我今天只會寫三題 應該只對一題XDD
推 Ertkkpoo    :第2題好熟悉，之前似乎在板上看過
推 wickeday    :第一題還滿有趣的，看起來很複雜，其實很簡單。 XD
推 joshua5201  :我寫三十 對嗎?
→ wickeday    :對阿 填充題的話根本也不用想了 直接填30吧~
推 jurian0101  :經典題目大集合!!
推 Ertkkpoo    :因為每一邊都是30吧
推 yesfun      :第二題先算出cosC再算sinC然後用ab*sinC/2結果很漂亮
推 ahuie       :這個沒學過高中數學應該不會吧.....
→ qeoip123    :有人要做詳解嗎XD
推 rehearttw   :第二題用海龍公式，先把公式展開結果還不錯
推 dullstupid  :第二題 29=4+25 37=36+1 52=16+36 三個直角三角形
→ dullstupid  :可以湊成一個6*6的正方形
→ dullstupid  :正方形面積再扣掉三個直角三角形面積即為所求
→ ricestone   :哇嗚...
推 jurian0101  :填充5和計算1是設計來考驗計算能力的，很煩，不難
→ jurian0101  :填2一般做法(根號數字亂給)是利用x/a+y/b+z/c=1圖形
→ jurian0101  :第四題也是，用個長方體把四面體框起來
→ jurian0101  :1:必有最小數->全同 3:連分數 6:八組 7:三組解
→ jurian0101  :那個幾何題(3)和(4)確定題目是這樣嗎?不會相等的樣子
第三題手殘打D打成C ，剩下應該沒錯
※ 編輯: qeoip123        來自: 219.84.218.45        (08/16 01:19)
推 sleep123    :填3 b/a≒3.2 用a=34+5n±1，b=109+16n，估算
→ sleep123    :  算出a/b=38/122，約分後b=61
推 sleep123    :填7 要改成整數，不然解會有無限多組
→ sleep123    :    用等比級數和三角兩邊和大於第三邊解
→ sleep123    :填1 直接討論，大的越大、小的越小，發現矛盾
→ sleep123    :填6 考C，不過國中生直接討論也很快
推 jurian0101  :E點是I在AD邊的垂足才對
推 sleep123    :計4(1) 圓周角圓內角
推 jurian0101  :4是對的，看出來了
→ sleep123    :計4(4) 跟樓上一樣，用看得，純粹內心性質
→ sleep123    :計4(2) 用(1)和弦
→ sleep123    :計4(3) 推 jurian0101  :E點是I在AD邊的垂足才對
感謝樓上各位的解答!!
另外我初試過了XDD
※ 編輯: qeoip123        來自: 219.85.1.216         (08/16 15:15)
→ sleep123    :       同樣用內心和三角形面積關係
→ sleep123    :其他題不見得解法相同，但推文回文都有國中可解法
推 jurian0101  :補圖 http://dl.dropbox.com/u/19027436/image01.bmp
推 sleep123    :樓上圖讀不到，推薦 http://ppt.cc/cut/
推 jurian0101  :圖: http://ppt.cc/sVAz
更正錯誤
※ 編輯: qeoip123        來自: 219.85.1.216         (08/16 19:45)
※ 編輯: qeoip123        來自: 219.85.1.216         (08/16 19:50)
※ 編輯: qeoip123        來自: 219.85.1.216         (08/16 19:58)
推 changzai    :5.(更號5+1)/2  6.16組