Re: [微積] 幾個不簡單的微積分

[ntust661 (XDeutesh)]

y※ 引述《light0617 (EDWIN)》之銘言：
: 有幾個問題想請教板上神人
: 1.
: 假設V(x)=(x^2-1)^n
: (1-x^2)V'(x)+2nxV(x)=0
: 左右兩邊微分n+1次
:         (n+2)       (n+1)          (n)
: (1-x^2)V     (x)-2xV    (x)+n(n+1)V  (x)=0
:        (n)
: n(n+1)V  (x)這一項是怎麼出來的 一直為不出來@@
:

   萊不妮茲微分


                 [n+1]
   ((1-x^2)V'(x))      = ...


      2 [n+1]         n+1     2 [n]            n+1     2      [n]      2  [n+1]
  (1-x )     V'(x) + C    (1-x )   V''(x) ... C   ((1-x )') V'   + (1-x)V'
                      1                        n


                                                n+1     [n]   n+1      [n+1]
          0        +       0    + ...       +  C   (-2)V   + C   (-2x)V
                                                n-1           n
                                               ---------------------------

                                                   2   [n+2]
                                            +  (1-x ) V
                                          --------------------(1)


  ┌───────────────────────┐
  │          [n]           [n+1]       2   [n+2] │
  │ -(n+1)n V    -2x(n+1) V      + (1-x ) V      ├──→ (1)
  └───────────────────────┘


        (n+1)!     n+1    1
    => ──── = C    = ── (n+1)n
       2!(n-1)!    n-1    2


        (n+1)!     n+1
    => ──── = C    = (n+1)
        1!(n!)     n



            [n+1]
   (2nxV(x))     = ... 同上


     n+1     [n]       [n+1]                [n]        [n+1]
    C    2n V    + 2nxV       =  (2n)(n+1) V    + 2nx V
     n
                                ------------------------------(2)


   再相加就知道嚕^^


 2.Pn(x)=Σ_(k=0)^[n/2]-1)^k ] *2^(-n)((2n-2k)?n)(n?k)x^(n-2k)
:  PS:此為legendre方程式的解
: WHY  Pn'(-x)=(-1)^(n+1)Pn'(x)???
: 解答是先算Pn'(x)再把-x代入 變成Pn'(-x)
: 但我是從Pn(-x)去微分 結果是(-1)^n 答案就不一樣了
:
             ?                 ?

 一直不解....
: 請各問大大幫小弟解答~


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 122.122.217.41
推 Frobenius   :推～ Good!
推 light0617   :太屌了!!! 我忘記考慮C了QQ
→ light0617   :第二題我先用-X代入 再去微分 不知為啥不可以@@
推 Frobenius   :因為用-X代入方程式 再微分 少考慮了連鎖率
→ Frobenius   :d(-x)/dx = -1 所以會差個負號
推 light0617   :我有考慮連鎖率 但是就錯了QQ
→ light0617   :我重PO一篇好了