※ 引述《jason8002 (一個人一杯咖啡)》之銘言：
: ※ 引述《egg12388 (微涼的風)》之銘言：
: : 在這裡我們希望H是一個subgroup,也就是說H也要是一個group才行
: : 如果你考慮a*b in H是同類的話
: : 那第1個 a~a => a*a=a^2 in H 無法表現出群定義上的強度
: 這句有點怪:如你所說 只能用封閉性確認a^2屬於H 強度比較弱
不好意思沒有說清楚~
我想說的是,如果H只是一個集合,這樣的定義下用途不大
解釋在下面的(*)
: 如果要證明a~a的話只要用a跟a的inverse就好>>>>定義GP4
: 給定a in H
: identity(GP3)
: a*a^-1=e => e屬於H => a*a^-1屬於H =>a~a
: : 2 a*b in H => a~b => b~a => b*a in H 不是每個群都可以交換
: : 在這個定義下無法說明群裡面的元素是等價關係
: : 但如果是定義a^(-1)b in H 表示 a~b 的話
: : 很容易可以檢驗出每個群裡面的元素是等價關係
: : 這是很有用以及很有價值的
: 你可以再說詳細一點嘛?@@我還是不大懂
: 就我的觀點:有a*b in H <=> a,b in H <=> a^-1*b in H(by GP4)
↑ 這裡是錯的喔~
如果G=C6={1,a,a^2,a^3,a^4,a^5}, a≠1, a^6=1
H={1,a^3} 則H是G的子群
且a*(a^2)=a^3 in H (b=a^2)
但是 a,a^2(=b) are NOT in H
甚至 (a^{-1})*b=(a^5)*(a^2)=a^7=a is NOT in H
: 所以我不懂為啥一定要用a^-1*b in H去看@@"
(*)
事實上,當我們假設 a~b 定義成 a^{-1}*b 時
令H是一個群G的"子集"
如果H裡的元素是等價關係的話 => H 是一個"子群"
(可以試著證看看)
有沒有發現,在這個等價的定義下,會是一個若且唯若(iff,<=>)的關係
(另外一個方向在我之前說的裡面)
而如果是另外一個定義,就沒有這個關係了
(例如我之前說的,不是每個群在那樣的定義下都是等價關係)
所以這樣的定義是有它的價值的~
: (吃光)
: : 而且不可交換的群很多,也容易舉例(課本都會有例子)
: : 如果把abelian作為自然的定義,不可交換就顯得是"特例"
: : 但你又可以輕易地舉出不可交換的例子~這樣不是很奇怪嗎:)
: : 以上是本人的拙見
: : 如有錯誤請幫忙指證
: : 謝謝^^
: 所以以群.跟元素去看交換律,符合的例子小於不可交換的例子
: 是這樣嗎?
我想應該不是這樣說吧
這兩種群的存在都是無限多個
例: 可交換: 令p是一個質數,則(Z/pZ)\{0}是一個可交換的乘法群,
且質數有無限多個.
不可交換: Sn, n>2, n in N, n有無限多種選擇
我想是邏輯上的問題吧
如果交換性是不可拿掉的條件,那在定義裡就會有交換性
我覺得有點像歐氏幾何的"平行公設"
在還沒發現非歐幾何前,討論幾何時這個公設是不可以拿掉的
不過當非歐幾何出現的時候
"歐幾里得的平行公設"就不在非歐幾何的定義裡了
也就是說,在討論一般化幾何時,不能把這個公設當成一個必要的存在
(除非特別討論特定幾何)
所以在討論群時,不能把交換性當作是必要的
(除非特別討論交換群)
不知道這樣比喻恰不恰當@@a
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.242.177.218
※ 編輯: egg12388 來自: 111.242.177.218 (08/16 01:07)
※ 編輯: egg12388 來自: 111.242.177.218 (08/16 01:07)