推 G41271 :一般來說都是整係數啦 08/17 12:29
※ 編輯: oNeChanPhile 來自: 114.27.8.196 (10/21 17:03)
※ 引述《doa2 (邁向名師之路)》之銘言：
: ※ 引述《e2ariuodi (豬豬)》之銘言：
: : 1.因式分解：x^8+x^6+x^4+x^2+1
: 原式=(x^10-1)/(x^2-1)
題目沒有說要分解到什麼程度，其實是不太好的。
因為虛根成雙，
所以任何實係數多項式，都可以分解成實係數的1或2次式。
若要分解到實係數，
可以在單位圓上畫出x^10-1的10個根，
x^10-1 = (x-x0)(x-x1)....(x-x9), xn = cos(36度*n) + i*sin(36度*n)
因為單位圓上，任兩共軛複數根之和為實數、積為1
扣除 x0=1 跟 x5=-1 後，上下（共軛複數）兩兩配對，即得四個實係數二次多項式
x^8+x^6+x^4+x^2+1＝[(x-x1)(x-x9)][(x-x2)(x-x8)][(x-x3)(x-x7)][(x-x4)(x-x6)]
=[x^2-2cos36度x+1][x^2-2cos72度x+1][x^2-2cos108度x+1][x^2-2cos144度x+1]
=[x^2-2cos36度x+1][x^2-2cos72度x+1][x^2+2cos72度x+1][x^2+2cos36度x+1]
∵sin18度＝1/(1+√5)＝(√5-1)/4
∴cos36度＝1-2(sin18度)^2＝(√5+1)/4
cos72度＝sin18度
2 √5+1 2 √5-1 2 √5+1 2 √5-1
原式＝[x + ─── x+1][x + ─── x+1][x - ─── x+1][x - ─── x+1]
2 2 2 2
: =(x^5+1)(x^5-1)/(x+1)(x-1)
: =(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)/(x+1)(x-1)
: =(x^4-x^3+x^2-x+1)(x^4+x^3+x^2+x+!)
若要分解到整係數，這就是答案了
: : 2.假設A=(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100)
: : B=(2/3)*(4/5)*(6/7)*...*(100/101)
: : 請問(1)A>(1/10) (2)B>(1/11) 這兩個選項對嗎?
: A*B=1/101
: 又A<B
: 故A<1/√101<1/10
: B>1/√101>1/11
: 只有(2)對
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.39.225.13