Re: [工數] 解微分方程使用Fourier傅立葉 及 Lapla …

[StevnCurry (Sap)]

題目是這樣的
               -2t
y'-2y = u(t)exp

若用lapalce解 令L{y} = Y(s)

(s-2)Y(s) -c =  1/ (s+2)

                1              c          1    1     1      c
     Y(s) = ----------  + -----------  = --- (--- - ---) + ---
            (s-2)(s+2)       (s-2)        4   s-2   s+2    s-2

                    2t    -2t       2t
=>   y(t) = (1/4){ e   - e    }+ c{e  }


若用fourier解 令F{y} = Y(w)

                 1     (-2-jw)t| 無窮大       1
(jw)Y - 2Y = -------- e        |         = --------
              (-2-jw)          | 0          (2+jw)

                -1
         Y = -------
             w^2 + 4

                    -2|t|
=>    y(t) = (-1/4)e       (這是課本的標準解答)



比較兩邊的解答 ... 發現 t>0 解才一樣
而傅立業轉換解不出通解

實際上我的疑問應該是...
一般一個微分方程 題目若沒特別指定
應該用Laplace 還是用 Fourier

如果給了I.C 一般會用Laplace求解 而解應該要在 t>0 才成立
但是我參考的兩本課本上 解答都沒有特別標明 t>0 是我的理解錯誤嗎

給B.C的話 會用Fourier 求解
解出特徵方程式(特解)
但沒給BC 為什麼通解會消失

感謝

※ 引述《StevnCurry (Sap)》之銘言：
: 有個觀念不太清楚
: 想請教大家
: 就是一般解微分方程時
: 如果不特別給初始I.C或邊界條件B.C
: 題目一般會指定用哪種方法解
: 但我手賤兩種方法都算看看
: 發現
: 用拉式解會解出通解跟特解
: 而且拉式解出的答案只有 t>0 是正確的 要特別標明y(t)= xxx, t>0
: 用富立葉只能解出特解,t屬於R
: t>0的部分兩種方法答案是相同的
: 請問這個結論是對的嗎
: 感謝

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.249.204.23
※ 編輯: StevnCurry      來自: 111.249.204.23       (08/17 12:55)
→ doublewhi   :整個實數域的解其實一樣 Laplace其實可以處理這問題
→ doublewhi   :要用點小技巧 u(t)e^at 轉換不要寫1/s-a
→ doublewhi   :寫(e^-0s)/s-a
→ doublewhi   :其實就是用來區分1和u(t)的不同
→ doublewhi   :一般沒寫都用Laplace解吧?
→ doublewhi   :p.s delta(t)也要寫成e^-0s
→ doom8199    :樓上你那樣解還是只能得到  t>0 的訊號
→ doom8199    :要用 LT 解 t<0 的解可以令 k=-t,然後對 k 取 LT去解
→ doom8199    :或是直接用 two-side LT 討論 ROC 下去解也可以
→ doublewhi   :單邊LP本來就只能求t>=0阿...
→ doublewhi   :不過雙邊LP不是無法考慮intial condition嗎??
→ doublewhi   :不是很確定@@