推 oNeChanPhile:why?@@ 08/17 19:50
推 sleep123 :好方法，可惜解題時都忘了用 08/17 22:23
→ sleep123 :f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)直接微就知道為什麼了 08/17 22:24
※ 引述《ckchi (飄)》之銘言：
: ※ 引述《stupidpin (綠茶無糖去冰)》之銘言：
: : 已知x^5=32 的四個相異虛根為a,b,c,d
: : 若f(x)=x^3 + x^2 +1
: : 求f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=?
: : 答案是-8
: : 可是不知道該怎麼算
: : 可以教我怎麼算嗎?
: : 謝謝大家!
: 有點麻煩的解法...
: 也許板上有人能提供更好的方法吧
: x^5-32 = 0
: (x-2)(x^4+2x^3+4x^2+8x+16) = 0
: 因此
: (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = x^4+2x^3+4x^2+8x+16
: 比較系數得：
: a+b+c+d = -2
: ab+ac+ad+bc+bd+cd = 4
: abc+abd+acd+bcd = -8
: abcd = 16
: 所以：
: (a+b+c+d)^2 = (a^2+b^2+c^2+d^2) + 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)
: (a^2+b^2+c^2+d^2) = (-2)^2 - 2*4
: = -4
: (a+b+c+d)^3 = (a^3+b^3+c^3+d^3) + 3(aab+aac+aad+bba+bbc+bbd+...+ddc)
: + 6(abc+abd+acd+bcd)
: = (a^3+b^3+c^3+d^3) - 3(a^3+b^3+c^3+d^3)
: + 3(a^2+b^2+c^2+d^2)(a+b+c+d) + 6(abc+abd+acd+bcd)
: (-2)^3 = -2(a^3+b^3+c^3+d^3) + 3*(-4)*(-2) + 6*(-8)
: (a^3+b^3+c^3+d^3) = -8
: f(a)+f(b)+f(c)+f(d) = (a^3+b^3+c^3+d^3) + (a^2+b^2+c^2+d^2) + 4
: = (-8) + (-4) + 4 = -8
另一種計算四根的平方和和立方和的方法
f(x)=x^4+2x^3+4x^2+8x+16
f'(x)=4x^3+6x^2+8x+8
f'(x) 4+ 6+ 8+ 8 |
----- - 8+ 4+ 8 | -2
f(x) -16+ 8+16 | -4
-32+16+32 | -8
-64+32+64 | -16
----------------------
4- 2- 4- 8
平 立
方 方
和 和
(-8)+(-4)+4=-8
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◆ From: 114.42.155.9