Re: [代數] equivalence relation

[jason8002 (一個人一杯咖啡)]

※ 引述《egg12388 (微涼的風)》之銘言：
: ※ 引述《jason8002 (一個人一杯咖啡)》之銘言：
: (*)
: 事實上,當我們假設 a~b 定義成 a^{-1}*b 時
: 令H是一個群G的"子集"
: 如果H裡的元素是等價關係的話 => H 是一個"子群"
: (可以試著證看看)
: 有沒有發現,在這個等價的定義下,會是一個若且唯若(iff,<=>)的關係
: (另外一個方向在我之前說的裡面)
: 而如果是另外一個定義,就沒有這個關係了
: (例如我之前說的,不是每個群在那樣的定義下都是等價關係)
: 所以這樣的定義是有它的價值的~

還是不懂@@"

對於為什麼要假設a~b定義成 a^-1*b

當我看到證明的解釋等價關系的第二條(symmetry)

如果a~b,也就是說a^-1*b屬於H.則因H是subgroup,由a^-1*b屬於H可得

(a^-1*b)^-1 = b^-1*(a^-1)^-1 = b^-1*a屬於H.

             (交換律!?)
這讓我百思不得其解....



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◆ From: 122.116.117.59
→ ricestone   :因為他原本目的是"若b屬於aH，則b跟a同類"
→ ricestone   :簡化後就變成他那樣，算是反過來定義
→ ricestone   :後面你可以推得"若c不屬於aH，則c跟a,b都不同類"之類
→ jason8002   :R大終於回來了((歡呼
→ ricestone   :我這樣寫你會看比較懂嗎？
→ jason8002   :可否再說詳盡一點,我比較笨ˊˋ
→ ricestone   :如果寫成b屬於aH的話，那就可以從這裡推得a^(-1)*b
→ ricestone   :屬於H，所以寫成a^(-1)*b比較直接
→ ricestone   :另外你這篇文中的那個不是交換率，是直接計算結果
→ jason8002   :那為什麼要以b屬於aH為目的@@"而不是a*b屬於H為目的?
→ ricestone   :前面應該有證連續乘起來的乘法反元素就是順序反過來
→ ricestone   :的各乘法反元素相乘
→ jason8002   :可是我算的是(a^-1*b)^-1=(a^-1)^-1*b^-1 剛好相反
→ ricestone   :因為，b屬於aH不一定表示a或者b是在H裡面
→ ricestone   :你忘記反過來了，順序要反過來，不然你自己乘看看
→ ricestone   :應該說就算寫成a*b屬於H也沒甚麼好用啦
→ ricestone   :因為接下來想要研究的是aH這種Set的性質
→ jason8002   :可是他原本就沒有表示a或b是在H裡...
→ jason8002   :感覺a*b比較直觀阿XDD
→ jason8002   :又感覺假設a^-1*b是有他的道理在可是不知其道理@@"
→ ricestone   :就很單純是為了aH這個Set所以這樣定義
→ ricestone   :如果要寫a*b的話，就會變成a^(-1)H這個Set，不太一樣
→ jason8002   :是啦,所以是因為有這aH才有a~b的等價關係?
→ ricestone   :等價關係這件事情是可以用在aH這種事情以外的概念
→ ricestone   :總之你只要注意在這裡a~b就代表這意思就好了
→ jason8002   :恩恩 了解了 謝謝^^ 還有一個問題 我想聽聽你的說法~
→ jason8002   :為何交換律不定為GP的定義裡 而要另外解釋?
→ jason8002   :abelian group
→ ricestone   :因為，有很多東西有群的性質卻沒有交換性
→ ricestone   :像是矩陣就沒有交換性了
→ jason8002   :所以交換律在群裡面算少有的性質?
→ ricestone   :不算少，但是很有特色，有很多abelian group特有性質