Re: [幾何] 三角形

[sleep123 (sleep123)]

※ 引述《ilway25 (Nick)》之銘言：
三角形 ABC

D 為 BC 上一點, 且 BD = 1, DC = 2, 2角BAD = 角DAC

求 AC 最短時，sin BAD = ?

推 Vulpix      :3/4 正弦餘弦就可以算了
本來用lagrange求極值，發現微分後很複雜

想要座標化時，無意中發現輔助點

稍改一下題目：

ΔABD 滿足 C 在 BD 上，且 BC=1、CD=2

      ∠BAC=α、∠CAD=2α

http://ppt.cc/4Wm4

SOL):

step1. AD、AC、AB 關係

       令 AD=a、AC=b、AB=c

       由三角形面積公式、和底邊比知

       0.5 a b sin2α = 2×0.5 b c sinα => c = a cosα

       0.5 a c sin3α = 3×0.5 b c sinα => b = a(1- (4/3)sin^2 α)

step2. 輔助點

       找 E 滿足 AE=a(=AD) 且 E = AE∩BD
       (簡單點就是由AC方向，將C延伸到E，長度為a)

       ∵ AB = a cosα        ∴ AB⊥BE

       ∵ ∠BAE=α、AE=a      ∴ BE = a sinα

       ∵ ∠EAD=2α、AD=AE=a  ∴ DE =2a sinα

       ∵ AE=a、AC=a(1-(4/3)sin^2 α)

       ∴ CE = a (4/3)sin^2 α

step3. 餘弦定理與配方法

       ∵ EB:ED=CB:CD=1:2

       ∴ EC 為 ∠BED 之角平分線，∠BEC=∠CED(找A在DE的垂線馬上解決)

　　　　方便計算，不妨令x=sinα

　　　　∠BEC=∠CED，由餘弦定理知

　　　　(ax)^2 + ((4/3)x^2)^2 - 1^2   (2ax)^2 + ((4/3)x^2)^2 - 2^2
        --------------------------- = ----------------------------
             2．ax ．a(4/3)x^2　　　　     2．2ax ．a(4/3)x^2

                        1
        => a^2 = ---------------
                 (-8/9)x^4 - x^2

        當 x^2 = 9/16 時，(-8/9)x^4 - x^2 有極大值、 a 有極小值

        (這裡a、x=sinα恆正，不用討論負號問題)

所以所求a=AD最小值時，x=sinα=3/4

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找到輔助點E後，正餘弦簡單解

不然用Lagrange multiplier會算到煩，一直找不到好的限制式

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◆ From: 163.19.167.174
推 Vulpix      :step1做完就可以用餘弦定理了
→ Vulpix      :針對∠BAC做即可
→ sleep123    :哈，樓上方法也很快，直接推到step3結果