→ ntust661 :想想對數 ln(x/a) = lnx-lna 08/18 13:07
→ ntust661 :lna 常數加到積分常數內就變成新的積分常數了 08/18 13:07
→ Vulpix :意思是你沒錯，不定積分不管多多少常數都無所謂 08/18 13:23
→ shtieramnowu:了解了 謝謝樓上兩位的講解 謝謝 08/18 13:28
暑假閒閒沒事做 想說先來紮點微積分的基礎 以便九月開學後可以順利跟上大家
但沒有去補習班補習 也因此沒有老師可以請教
所以在下是用自修的方法來學微積分
在看到積分技巧這裡時 碰到幾個積分公式 個人嘗試去証明
結果一個公式很順利地證出來 另外兩個卻碰到瓶頸 >_<
在下把證明過程寫下來 麻煩板上各位高手幫後學看看哪裡錯了 謝謝
1.
1 a^2
∫√(u^2 - a^2) du = ─ [u * √(u^2 - a^2)] - ── ln│u + √(u^2 - a^2)│ + c
2 2
proof:
u = asecθ 代入 ∫√(u^2 - a^2) du 得 a∫tanθdu
du
── = a tanθ secθ -> du = a tanθ secθ dθ 代入原式
dθ
2 2 2 2 2 3
a ∫tan θ secθ dθ = a ∫(sec θ-1) secθ dθ = a [∫sec θ - ∫secθdθ]
又 3 1 1
∫sec θ dθ = ─secθ tanθ + ─∫secθdθ 代入得
2 2
a^2 a^2
── [sec θ tanθ - ∫secθdθ] = ── [secθtanθ - ln│secθ + tanθ│] + c
2 2
2 2 √(u^2 - a^2)
u = asecθ, secθ=u/a, 1+ tan θ= sec θ, tanθ = ─────── 代入得
a
在下的證明
1 a^2 u + √(u^2 - a^2)
∫√(u^2 - a^2) du = ─ [u * √(u^2 - a^2)] - ── ln│─────────│ + c
2 2 a
課本上的公式
1 a^2
∫√(u^2 - a^2) du = ─ [u * √(u^2 - a^2)] - ── ln│u + √(u^2 - a^2)│ + c
2 2
和公式比較後 在下的證明多了一個a >_<
請問一下各位高手 在下的證明哪裡錯了?
煩請大家不吝指出在下的錯誤 解釋越詳細越好 謝謝
2.
1 a^2
∫√(u^2 + a^2) du = ─ [u * √(u^2 + a^2)] + ── ln│u + √(u^2 + a^2)│ + c
2 2
du 2 2
proof: u = a tanθ, ── = a sec θ, du = a sec θ dθ 代入原式得
dθ
2 3
a∫secθ du = a ∫sec θ dθ
3 1 1
∫sec θ dθ = ─secθ tanθ + ─∫secθdθ 代入得
2 2
2 3 a^2 a^2
a ∫sec θ dθ = ──secθ tanθ + ──∫secθdθ
2 2
a^2 a^2
= ──secθ tanθ + ── ln │tanθ + secθ│ + c
2 2
2 2 √(a^2 + u^2)
u = a tanθ, tanθ = u/a , 1+ tan θ= sec θ, secθ = ───────代入原式得
a
在下的證明
1 a^2 u + √(u^2 + a^2)
∫√(u^2 + a^2) du = ─ [u * √(u^2 + a^2)] + ── ln│─────────│ + c
2 2 a
課本的公式
1 a^2
∫√(u^2 + a^2) du = ─ [u * √(u^2 + a^2)] + ── ln│u + √(u^2 + a^2)│ + c
2 2
和證明第一個公式的情況幾乎一樣 都是在分母這裡多了一個 a
請問一下大家 在下的證明過程哪裡錯了?
煩請大家多多指教
謝謝
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龍能大能小，能升能隱；
大則興雲吐霧，小則隱介藏形；
升則飛騰於宇宙之間，隱則潛伏於波濤之內。
方今春深，龍乘時變化，猶人得志而縱橫四海。
《三國演義》「曹操煮酒論英雄」
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