※ 引述《mathfool ()》之銘言：
: Assume that f(x) belong to C^1 and for n≧0,
: oo
: lim (x^n)*f(x) =0 , lim (x^n)*∫ f(t)dt = 0
: x→∞ x→∞ x
: Prove or disprove
: lim (x^(n+1))*f(x) =0
: x→∞
: 證不出來又找不到反例...
: 請教各位高手了
這題可能沒有這麼難，是我想複雜了
先說一下想法好了，第二個極限（有積分的那個）
其實在某種程度上來說就等於第三個極限
我想你可以證明如果第三個極限存在的話
那麼就一定與第二個極限相等
不過這不是這題的重點，就不贅述了
重點是要舉反例的話，第三個極限就不能存在
為了方便，就舉 n=0 的反例
先證一個還滿顯然的Lemma
Lemma: For any e>0, there exists a C^1 function g(x) defined on [0,1]
such that g(x)>=0, g(0)=g(1)=0, g(1/2)=1, g'(0)=g'(1)=0, and
1
∫ g(x)dx < e.
0
pf: e=1 時自己亂造吧，看要用多項式、三角函數東湊西湊應該都有。
e<1 就把剛剛那個函數（e=1的，say h(x)），拿去東弄西弄
g(x)= h(x/e-1/(2e)+1/2), 1/2-e/2<=x<=1/2+e/2;
0, otherwise.
By Lemma, for any k>0, there exist f_k(x) such that
f_k(x)>=0, f_k(0)=f_k(1)=0, f_k(1/2)=1, f_k'(0)=f_k'(1)=0, and
1
∫ f_k(x)dx < 1/k.
0
Define
f(x) = f_k(x-k-1)/x, k<=x<=k+1. (f_0:=0)
then (1) f(x)>=0.
(2) f(x) belong to C^1
(3) f(x)<=1/x （imply 第一個極限為 0)
∞ ∞
(4)∫f(x)dx <= Σ 1/k^2 < ∞ （imply 第二個極限為 0）
0 k=1
(5) xf(x)=1 for x=1+1/2, 2+1/2, 3+1/2, ..., and
xf(x)=0 for x=1, 2, 3, ... （imply 第三個極限不存在）
大致上就這樣吧，應該沒什麼大問題，
不知道有沒有什麼簡單的反例？
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