Re: [分析] 一題微積分算極限

[mathfool ()]

※ 引述《wickeday (WickeDay)》之銘言：
: 這題可能沒有這麼難，是我想複雜了
: 先說一下想法好了，第二個極限（有積分的那個）
: 其實在某種程度上來說就等於第三個極限
: 我想你可以證明如果第三個極限存在的話
: 那麼就一定與第二個極限相等

  我曉得..就是羅必達...但就卡在我無法證明第三個極限的存在性..

: 不過這不是這題的重點，就不贅述了
: 重點是要舉反例的話，第三個極限就不能存在
: 為了方便，就舉 n=0 的反例
: 先證一個還滿顯然的Lemma
: Lemma: For any e>0, there exists a C^1 function g(x) defined on [0,1]
:        such that g(x)>=0, g(0)=g(1)=0, g(1/2)=1, g'(0)=g'(1)=0, and
:          1
:        ∫ g(x)dx < e.
:          0
:    pf: e=1 時自己亂造吧，看要用多項式、三角函數東湊西湊應該都有。
:        e<1 就把剛剛那個函數（e=1的，say h(x)），拿去東弄西弄
:            g(x)= h(x/e-1/(2e)+1/2), 1/2-e/2<=x<=1/2+e/2;
:                  0, otherwise.
: By Lemma, for any k>0, there exist f_k(x) such that
: f_k(x)>=0, f_k(0)=f_k(1)=0, f_k(1/2)=1, f_k'(0)=f_k'(1)=0, and
:          1
:        ∫ f_k(x)dx < 1/k.
:          0
: Define
:         f(x) = f_k(x-k-1)/x, k<=x<=k+1. (f_0:=0)
     應該是      f_k(x-k)/x

: then (1) f(x)>=0.
:      (2) f(x) belong to C^1
:      (3) f(x)<=1/x （imply 第一個極限為 0)
:          ∞         ∞
:      (4)∫f(x)dx <= Σ 1/k^2 < ∞ （imply 第二個極限為 0）
:          0          k=1
:      (5) xf(x)=1 for x=1+1/2, 2+1/2, 3+1/2, ..., and
:          xf(x)=0 for x=1, 2, 3, ... （imply 第三個極限不存在）
: 大致上就這樣吧，應該沒什麼大問題，
: 不知道有沒有什麼簡單的反例？

  很漂亮的做法...那如果我的結果不要這麼強呢
  原本是問

          f(x) = o(1/x^(n+1)) as x->oo
  現在知道這是錯的了
  那我改問下面是否是對的

          f(x) = O(1/x^(n+1)) as x->oo

  也就是說 x^(n+1)*f(x) 會不會有界??

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◆ From: 140.109.105.70
→ wickeday    :理論上還是不會，可以用上面的造法造出一個函數g(x)
→ wickeday    :在[0,1]積分小於1/k但最大值為k^(1/2)
→ wickeday    :這樣第一和第二個極限仍會收歛。是說n>0的話就都變得
→ wickeday    :有點麻煩就是了。
→ mathfool    :I got you! 所以f(x)在不等於0的地方差不多等於
→ mathfool    :x^(-1/2) 是吧! 此外對於 n>0 的情況反例找
→ mathfool    :f(x)=f_k(x-k)/x^(n+1) 不就行了嗎?? 麻煩是指??
→ wickeday    :就是第二個極限會變得有點難驗證？