→ wickeday :n>0一定錯? 08/18 18:06
推 mathfool :那是前提假設...況且滿足那條件的函數也很多 08/18 18:52
※ 引述《mathfool ()》之銘言：
: 標題: [分析] 一題微積分算極限
: 時間: Wed Aug 17 20:00:11 2011
:
:
:
: Assume that f(x) belong to C^1 and for n≧0,
: oo
: lim (x^n)*f(x) =0 , lim (x^n)*∫ f(t)dt = 0
: x→∞ x→∞ x
:
: Prove or disprove
:
: lim (x^(n+1))*f(x) =0
: x→∞
:
: 證不出來又找不到反例...
:
: 請教各位高手了
:
∞
lim (x^n)*∫ f(t)dt = 0
x→∞ x
這個等式
我怎麼覺得只要是 n=0 一定對 , n>0 一定錯阿
因為
∞ y
∫ f(t)dt is defined by lim ∫ f(t)dt
x y→∞ x
所以f(t)在[x,y] 可積 , FTC 告訴我們
y
we have∫ f(t)dt = F(y) - F(x) , where F'(t) = f(t)
x
y
then lim lim ∫ f(t)dt
x→∞ y→∞ x
= lim lim ( F(y) - F(x) )
x→∞ y→∞
∞
= lim (F(∞) - F(x)) (F(∞) - F(x)存在, since ∫ f(t) dt 存在 )
x→∞ x
= 0
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