Re: [中學] 2000年 大陸數學競賽

[dqIpb (dqipb)]

※ 引述《diow1 (小玉)》之銘言：
:                      2        2     2            2
:    x的二次方程式   (k-6k+8) x  + (2k-6k-4) x  +(k-4) = 0 的兩根都是整數
:    求 k=?    <<答案  3 , 6 , 10/3 >>

(k-2)(k-4)x^2 + (2k^2 - 6k - 4)x + (k-2)(k+2) = 0

十字交乘

=> [(k-2)x + (k+2)][(k-4)x + (k-2)] = 0

x = -(k+2)/(k-2) = -1-4/(k-2) 或 x = -(k-2)/(k-4) = -1-2/(k-4)

4/(k-2)是整數且 2/(k-4) 是整數

設 k-4 = p/q，p,q是整數，(p,q)=1，p>0。於是 p = 1 或 2。

=> 4/(k-2) = 4q/(p+2q)   p = 1 => (2q+1)|(4q) => (2q+1)|(-2) => q = -1，餘不合

                         p = 2 => (q+1)|(2q) => (q+1)|(-2) => q = 1或-2或-3

解出 k = 4 + p/q = 3 或 6 或 10/3
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 61.217.34.98
※ 編輯: dqIpb           來自: 61.217.34.98         (08/18 18:48)
※ 編輯: dqIpb           來自: 61.217.34.98         (08/18 19:01)
推 diow1       : 強 !
推 diow1       : 最後 4行 -->設k-4=p/q 之後.... 不 太了解 ?
→ diow1       : 麻煩 ! 各位大大 ...感恩
→ dqIpb       :4/(k-2)是整數且2/(k-4)是整數 k-4=p/q 2/(k-4)=2q/p
→ dqIpb       :(p,q)=1所以p|2
推 diow1       : 謝謝 ...揪...感心
推 G41271      :漂亮
推 weipuo      :第四行 x = -(k+2)/(k-2) = ...或 x = -(k-2)/(k-4)
→ weipuo      :但是不影響後面的列證 原PO解的很漂亮:)
謝謝指正XD
※ 編輯: dqIpb           來自: 61.217.33.14         (08/19 08:40)
推 folkontheshe:不好意思 可以請問一下嗎?
→ folkontheshe:(2q+1)|(4q) => (2q+1)|(-2) 這個是怎麼推的啊?感謝!
→ dqIpb       :d|a,d|b=>d|(ax+by). (2q+1)|(4q - 2*(2q+1))
推 folkontheshe:原來如此! 多謝回答!!!!