[工數] 微分方程的特徵方程式與階數

[tanaka0826 (田中鬪莉王)]

我在寫工數題目時，遇到下列一題:

Q:有一個常係數齊次O.D.E.之一組解為:

           cosX * (X^3)

則此O.D.E.之最小階數為?


而他的答案是如下的:

特徵方程式為( (λ^2 ) + 1 )^4 = 0 ， 即 8 階。

我想問:

其實我在解齊次解時知道說:

y" + y'- 2y = 0   的特性方程式(characteristic equation)會寫成

λ^2 + λ - 2 =  0   再下去求解，但是知其然不知其所以然...

為什麼能這樣代呢?

還有λ的意義?(還是說純粹是求解用的?)

另外則是cosX * X^3 為什麼可以化成( (λ^2 ) + 1 )^4 ?

還有階數是不是看λ的次方?

感謝板友們的幫忙Orz

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◆ From: 122.117.20.246
※ 編輯: tanaka0826      來自: 122.117.20.246       (08/19 01:39)
推 jacky7987   :有cosx 代表解釋 正負i n次重根的一般解是
→ jacky7987   :(c_1+c_2x+...+c_{n-1}x^{n-1})e^{ix}
→ jacky7987   :             是
→ jacky7987   :所以至少是4次重根
→ jacky7987   :所以至少是4階ODE
→ tanaka0826  :從哪裡能看出四次重根???
推 mihimaru16  :從X^3 可看出它與前面的解線性相依所以須對原解作偏
→ mihimaru16  :微分計算也就是補X
→ tanaka0826  :所以意思是說X^4偏微會變X^3的關係?
→ tanaka0826  :那麼( (λ^2 ) + 1 )^4 = 0 的意思是?
推 jacky7987   :第四行原來打錯是8接
→ jacky7987   :先從簡單的開始好了
→ jacky7987   :假設你的特徵多項式是(x-3)^2=0 那麼你的y_c將會是
→ jacky7987   :c_1*e^{3x}+c_2*xe^{3x}=(c_1+c_2x)e^{3x}
→ jacky7987   :這應該沒有問題吧@@
→ jacky7987   :那反過來 你要有xe^{3x}是不是至少要有(x-3)^2
→ jacky7987   :所以特徵多項是要被(x-3)^2整除 那最小的就是(x-3)^2
→ jacky7987   :所以只少是個二階ODE
→ jacky7987   :回到你的題目 你現在要生出cos{x}*x^3
→ jacky7987   :要生出cos{x} 特徵多項式必須是(x^2+1)
→ jacky7987   :要生出x^3必須要重根4次 所以特徵多項式要被
→ jacky7987   :(x^2+1)^4整除  所以至少是8階ODE
→ tanaka0826  :感謝jacky7987的解釋 我看懂了
推 jacky7987   :剛好是我會的了拉..其他ODE PDE都不會(哀桑
→ tanaka0826  :還沒學P.D.E.(遠目...連Laplace都還沒開始唸...