推 Lanjaja :謝謝 很詳細的推導 08/20 00:25
→ oNeChanPhile:不，其實我們做得似乎都不夠嚴謹，請再參考下篇 08/20 01:06
※ 編輯: oNeChanPhile 來自: 114.27.8.196 (10/21 17:03)
※ 引述《Lanjaja ()》之銘言：
: If A is unitary, A* (complex conjugate only) and A are equivalent(similar),
: then there exists a unitary matrix U such that A = U A* U^(-1).
Thm: A is unitary → A is diagonizable
pf:其實這是 schur decomposition 的直接結果
不過也可以用 invariant subspace 的方法直接證明....
∵ A至少有一個 eigenvector v（代數基本定理保證特徵多項式至少有一根）
+ + + -1
Av =λv → A A v = v = λA v → A v =λ v
⊥ +
考慮 w 屬於 {v} → <w,v> = w v =0
+ + + + -1 -1 +
∵ <Aw,v> = (Aw) v = w A v = w A v = λ w v = 0
⊥ ⊥
∴ Aw 屬於 {v} → {v} 是 A 的 invariant subspace
⊥
對 {v} 一直重複上面動作，即可解決有限維度的情形
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接下來就像 Sfly 大講的一樣
: → Sfly :A ~ D , A* ~ D* , D ~ D* => A~A* (~:unitary equ. 08/19 09:29
^^^^^^^
+ * * * T
A = Q D Q ，取共軛 --> A = Q D Q
+ * T T * +
∵ QQ = I 取共軛 --> Q Q = I and Q = (Q )
∴ A* ~ D*
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