→ oNeChanPhile:done 08/20 02:24
推 lifeisdrama :謝謝你~我再研究看看 08/21 01:18
※ 編輯: oNeChanPhile 來自: 114.27.8.196 (10/21 17:03)
※ 引述《lifeisdrama (人生如戲)》之銘言：
: 想請問板友下面的題目
: x''+x'+x=sign(x-sin(t)) ; x(0)=0 , x'(0)=1
: 其中x為t的函數，而sign函數的定義為
: sign(x) = 1 if x>=0
: = -1 if x< 0
: 這是自己想的題目所以沒有解答
: 目前想過級數解跟Fourier Transfer
: 但目前還沒想到如何處理sign以及裡面的x跟sin...
Green's function 也許會是比較好的策略
因為有「累積」的概念在裡面
不過這只是直覺 沒實做不知道
且下面的方法也跟 Green's function 無關....
: 有想過將sign(x-sin(t))寫成 ( x-sin(t) ) / | x-sin(t) |，但還是沒什麼進展
: 想請版友指點方向(除數值解外)
: 非常感謝你的幫忙~
我覺得可以借助於物理的分析：
（可參考 http://en.wikipedia.org/wiki/Damping ）
你的系統相當於 damped oscillation 加上 sign(x-sin(t)) 項
F = mx'' = - kx - c x' + sign(x-sin(t))
with m = k = c = 1
其中 -kx 項為彈簧恢復力
-cx' 項為與速度一次方成正比的阻尼（耗散）項
非線性項 sign(x-sin(t)) 在 x >= sin(t) 時為助力，x<sint 時為阻力。
由初始條件 x(0)=0, x'(0)=1 知，
力學能為 mv^2/2 = 1
2 2
沒有阻尼項時的最大振幅 x 由 mv /2 = k x / 2 給出 → x = 1
0 0 0
如果沒有 sign(x-sin(t)) 項
那麼這個阻尼振盪的 angular frequency
2
ω = ω √(1-ζ ), 其中 ζ = c/2mω , ω = √(k/m) = 無阻尼之角頻率
d 0 0 0
本題對應的情形為 ω = (√3)/2, ω = 1
d 0
t = 0 時， -cx' = -1, sign(x-sin(t)) =1，兩項恰好抵銷，
彈簧行為與無阻尼時無異, x = x sin(ω t) = sint 。
0 0
但是經過一小段時間 Δt 之後，彈簧受恢復力作用減速，
致使 cx'<1 ， 敵不過 sign(x-sin(t))，
因此這段時間，相較於 F = -kx 的簡單振盪，物體是受到助力作用的，
故其位置 x 會比起無阻尼、無助力的 x = x sin(ω t) 稍微前進一些
0 0
+
如此便能保證 x-sin(t) = x - x sin(ω t) > 0 (在 t = 0 附近)
0 0
因此在 t >= 0 的時候，您可以直接代入 sign(x-sin(t)) ＝ 1
然後解二階 ODE
直到 x(t) 與 sin(t) 死亡交叉之時（即x(t ) < sin(t )），
1 1
再換成 sign(x-sin(t)) ＝ -1
然後利用那時的邊界條件 x(t ) 與 x'(t ) 解 ODE
1 1
等到出現黃金交叉（即x(t ) > sin(t )）的時候再換回 +1
2 2
如此往復循環
應該可以解到任意的 x(t)
只是這樣的分析
暫時還無法知道均衡態是否存在，以及 t→∞ 的極限情形罷了。
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