Re: [工數] 一題ODE

[doublewhi (趙哥)]

※ 引述《handsboy (夠夠拋兒瑞久)》之銘言：
:  dy     3      2    -1
: ---- = x  (y-x)  + x  y  , x>0
:  dx
: 想不出來-.-
: 有人會解嗎


此為Riccati ODE  按照解題步驟慢慢算即可..

1. y=x為一特解  令y=x+u 帶入ODE (會變成Bernoulli ODE)

帶入得

     1+u'=x^3*u^2 + (x+u)/x

     u'=x^3*u^2 + u/x  (有合併對象 用觀察法較易..)

     u^-2 du = (1/x)(1/u)dx + x^3dx

     d(1/u) + (1/x)(1/u)dx = - x^3dx  , I= exp(lnx)=x

     d(x/u) = -x^4dx , xu = (-x^5+c)/5

     u = 5x/(c-x^5) , y = x+u = x + 5x/(c-x^5)

===============另解====================

令y-x=z  整理得

     z'=x^3*z^2 + z/x

     xdz-zdx = x^4*z^2 dx

     d(zx^-1)/(x^-2) = x^4*z^2 dx

     1/(x^-2*z^2) = x^4 dx ,積分得

     -1/z*x^-1 = (x^5+c)/5

     z = -5x/(x^5+c) , y = x - 5x/(x^5+c)

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◆ From: 140.113.122.118
推 handsboy    :哦哦哦哦哦  原來是RICCATI -.-
→ doublewhi   :不過我不太懂另一個大大怎樣看出變異係數法可以解的
→ doublewhi   :@@
→ doublewhi   :打錯  參數變異法 (好像一樣? XD
推 handsboy    :參數變易法是哪個阿  哈哈
→ doublewhi   :沒事  我想錯了@@
→ doublewhi   :我剛看了一下 用z=y-x後 觀察法應該也可以解
※ 編輯: doublewhi       來自: 140.113.122.118      (08/20 18:27)
→ handsboy    :太久沒看一階ODE 就..變的廢廢的 -.-
→ handsboy    :令y=x+ 1/u 帶回好像比較快  直接解一階線性
→ doublewhi   :可以問如何看出y=x+ 1/u嗎  @@
※ 編輯: doublewhi       來自: 140.113.122.118      (08/20 18:28)
推 handsboy    :就把你的u 令成我的1/u 哈哈 算出來應該一樣
推 mihimaru16  :u直接改另1/u算是直接跳兩步 跟教科書的算法相同
→ mihimaru16  :可化成參數變異法則是將y另為-(1/R(x)u)(du/dx)
→ mihimaru16  :就可以升階成二階ODE
→ doublewhi   :樓上可以詳細介紹下升階的做法和想法嗎?
推 mihimaru16  :升階我是在書上看到的 不過我推倒不出來所以沒用過這
→ mihimaru16  :種解法 這種解法優點是可以不用假設特解救可求通解
→ mihimaru16  :化減後會變u"-(Q+R'/R)u'+PRu=0