[微積] 一題重積分

[craig100 (不要問,很‧恐‧怖)]

Find the volume of the solid region of Q cut from

the sphere x^2+y^2+z^2=4 by cylinder:r=2sin(theta)

用直角座標去積我會 雖然很醜

我想問的是變數變換 變成柱面座標怎麼積

<sol>

我這樣寫;
 pi 2sin(theta) (4-r^2)^(1/2)
S  S           S              rdzdrd(theta)   ←這行我確定沒錯 因為課本也這樣
 0  0           -(4-r^2)^(1/2)

我積出來是(16/3)pi


可是我不懂的是 課本為何要把

前面的0~pi 換成0~pi/2 然後係數補個2 變成這樣:


  pi/2 2sin(theta) (4-r^2)^(1/2)
2S    S           S              rdzdrd(theta)
  0    0           -(4-r^2)^(1/2)

然後他積出來的答案是(16/9)(3pi-4)



想了很久阿 為何課本沒事要把pi變成pi/2 好好的算不行嗎= =

而且應該不會是我計算錯誤 我檢查過蠻多次的了....



另外 想再問一個問題

變數變換後的dr所對應的範圍 是不是一定都是正的阿??

像這題是0~2sin(theta) 而不是-2sin(theta)~2sin(theta)

所以dr所對應的範圍都是正的囉?

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◆ From: 114.44.149.12
→ Vulpix      :你積錯了，再算一次看看。開根號的時候請小心。
→ Vulpix      :sqrt{[cos(theta)]^2} = |cos(theta)|
→ Vulpix      :而這就是為什麼課本把它分兩段積分的理由。
→ craig100    :我懂了 感謝你!!!!!!!!!! 沒想到被絕對值打敗 囧
推 deepwoody   :r的範圍取決於你theta的範圍