[代數] module一問

[bajifox (嘖)]

F is a field. R=F[t] is a polynomial ring.
A be a mxn matrix which coefficients belong in R

      [ 1-t   t^2 + t ]
Ex A= [               ]
      [  3   2t^3 - t ]

如果存在elementary mxm and nxn matrix P and Q 係數也在R中
    [  f(t)   0   ]
使D=[             ]   A=PDQ
    [   0    g(t) ]

請問R^m/AR^n 為什麼isomorphisc to R^m/DR^n 呢
(AR^n表示 A:R^n ---> R^m的image)

照理說應該可以做出一個map g: R^m/AR^n ---> R^m/DR^n 1-1 and onto
                                ||
                             R^m/PDQR^n

          最自然的是g當然是  f(t)+PDQR^n |---> f(t)+DR^n
但1-1該怎麼證呢  f(t)-g(t)屬於DR^n  完全無法imply f(t)-g(t)屬於PDQR^n阿
               因為Q^(-1)基本上係數就不見得在R中了

謝謝

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 61.224.41.186
推 yusd24      :因為 P, Q 都是可逆矩陣
→ yusd24      :所以 QR^n=R^n,  P^{-1}R^m=R^m..
我知道您的意思
但是實際在做map的時候是有問題的
一般可以這樣是因為R是field
比方說A=DP P invertible好了
g: R^m/DPR^n ---> R^m/DR^n
當我們在做1-1時 f(t)-g(t)=m(t)屬於DR^n 希望f(t)-g(t)屬於DPR^n
最快的方式就是取P^(-1)m(t)為R^n中的元素........(*)
如此f(t)-g(t)即為DP{P^(-1)m(t)}

但是(*)是有問題的 因為P的元素不在field中
因此P^(-1)m(t)可能根本不在R^n了
※ 編輯: bajifox         來自: 61.224.41.186        (08/22 11:48)
推 yusd24      :P是係數在R的可逆矩陣，所以就沒問題囉～
        1    0
例如P=[        ]  則P^(-1)=... 這樣P^(-1)R^2好像不見得會在R^2阿
        1-t  1
※ 編輯: bajifox         來自: 140.112.24.220       (08/22 13:37)
推 yusd24      :這個例子 P^{-1} 的元素都在 R 裡面阿~~
推 yusd24      :事實上這是 module over PID 的情形...建議你可以去
→ yusd24      :查看看 Artin 的 algebra chap14 or 15
→ yusd24      :那裡面寫得很詳細！
呃 我的例子舉的不太好
我就是看Artin的chap 14  他在這邊完全沒有證明
我的意思是如果今天是

     f(t)   0                                      1
P= [           ] 我要怎麼確保inverse 不會出現   ------ 這類的有理函數
     g(t)  h(t)                                  f(t)

                     t^2-3t+1    t-2
以課本的例子來說A=[                       ]
                     (t-1)^3   t^2-3t+2

             -1      0
在左邊乘P=[            ]
            (t-1)^2  1

           1        t-2                    1      0
右邊乘Q=[                    ] 後可得   [                ]
          1-t   (1-t)(t-2)+1               0 t(t-1)(t-2)

但在沒算以前怎麼能知道Q^(-1)的元素不會跑出有理函數呢
※ 編輯: bajifox         來自: 61.224.41.186        (08/22 17:52)
→ bajifox     :我耍笨了 感謝y大 我想清楚了^^