作者Minkowski (四維之祖)
看板Math
標題Re: [微積] sigma i^2 公式推導
時間Mon Aug 22 20:24:17 2011
※ 引述《driftseed (阿輝)》之銘言:
: 求
: n
: Σ i^2
: i=1
: 印象中是不是可以用微積分的方式
: 推導出來sigma i、i^2、i^3... 這些公式
3 n+1 3 n 3 n 3 n 3
(n+1) = Σ k – Σ k = Σ (
m+1) –Σ k
k=l k=1 ↑
m=0 k=1
│
└ Set k = m+1
n 3 3 n 2
= 1 + Σ [(
k+1) –k ] = 1 + Σ (3k + 3k + 1)
k=1 k=1
n 2 n n n 2 3n(n+1)
= 1 + 3 Σ k + 3 Σ k + Σ 1 = 1 + 3 Σ k + ──── + n
k=1 k=1 k=1 k=1 2
3 2
n 2 1 3 3n(n+1) 2n + 3n + n
=> Σ k = ── [(n+1) – ──── – n – 1] = ────────
k=1 3 2 6
n(n+1)(2n+1)
=
────── .
6
其餘依此類推,但都要求出前幾次方的和的公式才能算。
至於跟微積分有沒有關係......,算是有,例如下面這個題目:
Find all positive integer
p, q, r such that
n p n q r
Σ k = (Σ k ) for all n.
k=1 k=1
算是要用到一點點的積分吧!!
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 218.173.171.113
推 jurian0101 :請問p,q,r是只有(3,1,2)一組解而已嗎 08/23 00:11
→ Sfly :and (p,p,1) 08/23 05:51