※ 引述《wnglon (郎)》之銘言：
: ∫x^2/(x^2+2x)^1/2 dx =(ax+b)(x^2+2x)^1/2 +k∫1/(x^2+2x)^1/2 dx
: 有無此積分之證明
: 請各位幫幫我><
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P(x,n)
遇到型如 ∫ ───────── dx , a≠0 的不定積分
√(ax^2 + bx + c)
其中 P(x,n) := n次多項式
先嘗試用分部積分法做看看:
P(x,n)
∫ ─────── dx , n≧3
√(ax^2+bx+c)
P(x,n-1)*(ax + b/2) + k
= ∫ ──────────── dx , k€R
√(ax^2+bx+c)
k
= P(x,n-1)*√(ax^2+bx+c) - ∫ P'(x,n-1)*√(ax^2+bx+c) dx + ∫ ────── dx
√(ax^2+bx+c)
k - P'(x,n-1)*│ax^2+bx+c│
= P(x,n-1)*√(ax^2+bx+c) + ∫ ────────────── dx
√(ax^2+bx+c)
P(x,i)
～ P(x,n-1)*√(ax^2+bx+c) + ∫ ─────── dx , i≦n ____(1)
√(ax^2+bx+c)
會發現 k - P'(x,n-1)*│ax^2+bx+c│ 它是一個最高不超過n次的多項式
(以下省略絕對值)
這意味著原始的不定積分經過某些運算後
可以被轉到同類型的積分
並且跟 P(x,n-1)*√(ax^2+bx+c) 這個 term 息息相關
"或許" 經過有限次運算後
P(x,n) 會一直被降接到 P(x,2) ，就可以直接算出來了
當然這只是或許
因為有可能做了好幾千次 i.b.p. ， dof 都還是維持不變
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若是仿造 ∫(e^x)cos(x) dx 這類的積分方法
我們可以把 (1) 式改寫成:
Q(x,n) k
∫ ─────── dx = P(x,n-1)*√(ax^2+bx+c) + ∫ ─────── dx
√(ax^2+bx+c) √(ax^2+bx+c)
其中 Q(x,n) = P(x,n) + P'(x,n-1)*(ax^2+bx+c) (以下省略絕對值)
= (ax^2+bx+c)P'(x,n-1) + (ax+b/2)*P(x,n-1) + k ____(2)
( Q(x,n) 必然也是 n次多項式，原po可以自己證明一下 )
因此只要將原始被積函數中的多項式 = Q(x,n)
在利用 (2) 式找出一組 P(x,n-1)
就能把原不定積分寫成黃色標記的 form 了
但問題是 (2) 式這個 ode 算到最後會跑回求解原不定積分
因此我們必須要從其它地方下手
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因為計算過程中有出現 P(x,n-1)*√(ax^2+bx+c) 這個 term
不仿從最簡單的 P(x,n-1) = x^(n-1) 下手
然後嘗試對它微分看看找出線索:
d n-1 n-2 n-1 ax + b/2
──[ x √(ax^2+bx+c) ] = (n-1)x √(ax^2+bx+c) + x *───────
dx √(ax^2+bx+c)
H(x,n)
= ───────
√(ax^2+bx+c)
n n-1 n-2
其中 H(x,n) = an*x + b(n - 1/2)x + c(n-1)x
H(x,n) n-1
所以 ∫ ─────── dx = x √(ax^2+bx+c) + const.
√(ax^2+bx+c)
上面那個不起眼的公式，其實就可以解決一開始的問題
因為:
P(x,n)
∫ ─────── dx
√(ax^2+bx+c)
n n-1 n-2
p{n}x + p{n-1}x + p_{n-2}x + P(x,i)
= ∫ ────────────────────── dx , i≦3
√(ax^2+bx+c)
n n-1 n-2
p{n} an*x + b(n - 1/2)x + c(n-1)x
= ──*∫ ────────────────── dx
an √(ax^2+bx+c)
n-1 n-2
q{n-1}x + q{n-2}x + P(x,i)
+ ∫ ──────────────── dx
√(ax^2+bx+c)
┌ q{n-1} := p{n-1} - p{n}(b/a)[1 - 1/(2n)]
其中 └ q{n-2} := p{n-2} - p{n}(c/a)(1-1/n)
p{n} n-1 P(x,j)
= ── x √(ax^2+bx+c) + ∫ ─────── dx , j≦n-1
an √(ax^2+bx+c)
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我們可以利用上面降階的方式
一路做下去
直到 P(x,i) 變成常數多項式
不需要動用到 分部積分法 (事實上用分部積分法會遇到難關)
這也是為何某些書上寫說
x^2
遇到像是 ∫ ────── dx 這類的不定積分
√(x^2 + 2x)
k
會要你直接假設成 (ax + b)√(x^2 + 2x) + ∫ ────── dx
√(x^2 + 2x)
接著左右微分後直接比較係數求得 a、b、k 的原因在此
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