推 bemyself :(跪拜) 還有無其它人有想法呢? 08/23 21:29
→ bemyself :等等, 最後一句要對的前提應是A可逆?不然A若為零矩陣 08/23 22:07
→ bemyself :怎辦? 08/23 22:07
※ 引述《bemyself (self)》之銘言：
: Let A be n x m matrix and B be an m x n matrix over C.
: Show that "I_n-AB is invertible if and only if I_m-BA is invertible".
: 是書中一例 書上用反證--
: --> 假設I_m-BA 不 invertible, 去證I_n-AB 不 invertible
: 然後反向就同理
: --------------------------
: 那如果我用 若I_n-AB invertible 證 則I_m-BA invertible 反向同理
: 原本想用 [thm]:Ax=0 只有零解 iff A is invertible 去做以下:
: "已知(I_n-BA) invertible, 設(I_m-BA)x=0 去推出x恆為零向量 (只有零解) 故可逆"
(I_n-AB)
if (I_m-B.A).x=0
then (I_n-A.B).A.x=A.(I_m-B.A).x=0
because (I_n-A.B) invertible, then A.x=0
Hence, (I_m-B.A)x=x=0
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