[其他] 一元三次方程式的解法

[AlexChen (試煉石)]

版上前輩們您好！

後學想要請教有關於【一元三次方程式】的解法，

除了用【試誤法】代數據去測試之外，還有其它解法嗎？

舉例來講：

8X^(3) - 9LX^(2) + L^(2)

這個可以拆解成：

8X^(3) - 9LX^(2) + L^(2) = [ 8X^(2) - LX - L^(2) ] * (X-L)

這樣可以變成一元二次方程式，X = 0.422L

但是後學有個疑問：

(1) (X-L)怎麼出來的？該如何去判斷呢？

(2) 若遇到不能拆解的方程式，請問還有甚麼解法呢？

舉例：X^(3) + X^(2) + X + 1 = 0

遇到如上式不能拆解的方程式，又有甚麼解法可以解呢？



麻煩不吝嗇告知，後學在此感激不盡，謝謝！

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歲寒松柏古栽培，雨雪風霜總不摧，　

異日必當成大用，功名作個棟樑材。

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◆ From: 114.35.30.78
→ firejox     :公式解?
推 jacky7987   :卡當公式
→ jacky7987   :(1)因為數字和為0 所以有X-L的因式(因式定理
請問前輩，若數字和不為零，那該如何解法呢？
※ 編輯: AlexChen        來自: 114.35.30.78         (08/25 20:37)
推 jacky7987   :有理根的話 可以用牛頓一次因式檢驗
剛剛google資料與觀看後之感想，這種方式很像【試誤法】的解法。

【試誤法】是用數據去測試，牛頓一次因式檢驗是用(因數法)去測試。

→ jacky7987   :其他的就我提到的公式解了
※ 編輯: AlexChen        來自: 114.35.30.78         (08/25 20:58)
推 jacky7987   :如果你只是要求近似值的話還有 牛頓切線法(數值上面
→ jacky7987   :用的方法) 當然還有割線法拉等等
→ jacky7987   :有各自的收斂速度
不知道前輩有聽過【疊代分析】做收斂計算嗎？

據某版先進有言，對於一元三次方程式的求解速度會比較快，

但誤差率在3%左右。
※ 編輯: AlexChen        來自: 114.35.30.78         (08/25 21:22)
推 jacky7987   :iteration analysis?
→ jacky7987   :其實從Simple iteration-->tangent method-->Newton
→ jacky7987   :其實都是疊代的結果 透過一些條件保證他收斂
→ jacky7987   :像是fixed point thm
→ jacky7987   :這方面的知識可以參考大部分的數值分析
推 jacky7987   :(Simple跟tangent中間還有一個我忘記是啥名子的方法
推 jacky7987   :想法就是把值帶進去一個演算法中 得到的再帶回去演算
→ jacky7987   :法裡面 希望他會收斂到我們要的根,但往往電腦和分析
→ jacky7987   :上的結果有差異...(這也是數值上一個麻煩的結果XD
→ jacky7987   :往往分析都只是說: "存在一個區間",但這個區間多大
→ jacky7987   :就不是那麼容易知道
謝謝jacky7987前輩不吝嗇告知，後學再google找看看，謝謝告知那麼多的資訊，謝謝！

→ firejox     :x^3 + x^2 + x + 1 = 0 好像可以變成(x^2+1)(x+1)=0
X 代 -1 數字和等於零，所以其中的因數有 (X+1)，

這題其實是我突發奇想出來的題目，竟然還真的可以因數分解。

推 qq007       :有個甚麼丹的公式解
推 jacky7987   :Cardano's Formula其實我上面有血 卡當公式XD
→ suhorng     :可是卡當公式遇到要求複數的三次方根要怎麼算 @@
※ 編輯: AlexChen        來自: 114.35.30.78         (08/26 08:46)
推 endlesschaos:Simple 跟 tangent 中間的割線法叫 Secant Method
推 jacky7987   :阿哈哈 我被錯英文了 割線法是Secant Method阿..
→ jacky7987   :我回去翻翻課本再打上來==
推 jacky7987   :找到了XD Relaxation method
→ jacky7987   :算是從simple iteration過渡到secant和Newton的轉捩
謝謝jacky7987前輩熱心的幫忙，謝謝！
※ 編輯: AlexChen        來自: 114.35.30.78         (08/26 18:04)