Re: [微積] 一題證明

[znmkhxrw (QQ)]

※ 引述《craig100 (不要問,很‧恐‧怖)》之銘言：
: Given that lim g(x)=L ,where L>0
:            x->c
: Prove that there exists an open interval (a.b) containing c,
: such that g(x)>0 for all x (- (a,c)∪(c,b)
: 我的做法:
: <proof>:
: for all ε>0 , exist δ>0 such that 0<｜x-c｜<δ
:                              =>     ｜g(x)-L｜<ε
:  -δ<x-c<δ
: c-δ< x <c+δ ,and x≠c      taking a=c-δ , b=c+δ
:                                  ( c=(b+a)/2,δ=(b-a)/2 )
: -ε<g(x)-L<ε
: L-ε<g(x)<L+ε
: We want to prove L-ε>0 that's done.
: Consider L=g(c)=g((b+a)/2) , δ=(b-a)/2
: L-ε=g((b+a)/2) - (b-a)/2      然後就卡關了.... 不知要怎麼證L-ε>0
: 這樣還有辦法證下去嗎
: 還是有其他證法... 感謝板上高手了!!!

for ε= L/2 > 0 , there exists δ > 0 , s.t. when 0 < │x-c│ < δ

 we have │g(x) - L│< L/2

       => -L/2 + L < g(x) < L/2 + L

 so g(x) > L/2 > 0 , for all 0 <│x-c│< δ

 Hence a = c-δ , b= c+δ are required.

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→ craig100    :感謝!!