[微積] 線積分與面積分等問題

[tanaka0826 (田中鬪莉王)]

一次問這麼多題實在不恰當

不過時間迫在眉睫，好幾題算到一半卡住，希望板友們能稍微解釋一下我的問題所在:

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Q1.Find the moment of inertia about the Z-axis of a thin shell of constant

density δ(δ > 0) cut from the cone 4 x^2 + 4 y^2 - z^2 = 0 , z >= 0 ,by

the circular cylinder x^2 + y^2 = 2x

這題要怎麼去計算我大概清楚，但是在找出parametrization(即換成u,v)時找不出適當

的置換方法。

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Q2: Find the area of the surfaces:

Let S be the portion of the cone z = √(x^2 + y^2) that lies over the region

between the circle x^2 + y^2 = 1 and the ellipse 9 (x^2) + 4 (y^2) = 36

in the xy-plane.

跟上題不同的是，我求出了dA = √2 du dv ，但是後面積分的邊界我一時想不出該怎麼

表示出來，因為又有橢圓又有圓，我就卡住了...

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Q3:Integrate g(x,y,z) = x√(y^2+4) over the surface cut from the parabolic

cylinder y^2 + 4z = 16 by the planes x = 0 , x = 1 and z = 0.

跟Q2類似，我把r(u,v)設為( u , v , 4 - (v^2)/4 )然後代入g裡面，以及求出dA，不幸

的是，算出來的答案跟解答不同，正解是56/3。

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Q4:A wire of density δ(x,y,z) = 15√(y+2) lies along the curve

r(t) = (0,t^2-1,2t),-1 <= t <= 1.Find its center of mass.

這題我目測看出X和Z都是0，但是Y怎麼算都算不出-3/5，所以我想確定一下Ym的算法，

該怎麼下手呢?

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Q5:Find the center of mass and the moments of inertia about the coordinate

axes of a thin wire lying along the curve r(t) = ( t,[2√(2t^3)]/3,(t^2)/2 ),

0 <= t <= 2 , if the density is    1
                                ( --- )
                                  1+t

這題感覺跟上一題很像，但是我不知怎麼下手...

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真的很抱歉一次問五題，在考題轟炸之下已經有點昏頭了，希望板上高手能幫忙我Orz

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◆ From: 122.117.20.246
推 ntust661    :1.一定要換成 u v 嗎 ?
→ ntust661    :2.上下限好找阿XDD 把圓錐畫出來
→ ntust661    :然後底部投影到 x - y 平面是圓與橢圓
→ ntust661    :那積分由 dz dx dy 開始
推 ntust661    :更正，是算表面積的話
→ ntust661    :算出法向量為 n = ▽z
→ ntust661    :表面積 = dA = │▽f│/│▽f‧k│dx dy
→ ntust661    :法向量算法  z^2 = x^2 + y^2 , f = x^2 + y^2 - z^2
→ ntust661    :▽f = 2x i + 2y j - 2z k
→ tanaka0826  :1.不一定，不過我想不出其他算法
→ tanaka0826  :2.就是在這個步驟之後就寫不出來了...