[分析] 收斂問題

[znmkhxrw (QQ)]

if a_n → S , b€R

then b*a_n → bS

證法：b = 0, done

      b =/= 0 , 只要取ε/ b 即可


可是 如果今天是

for all x€S

if f_n(x) → f(x) pointwisely , g(x)€R

then g(x)*f_n(x) → g(x)*f(x) pointwisely

證法：g(x) = 0 , done

      g(x) =/= 0 , 只要取ε/│g(x)│ 即可


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問題來了

如果今天改成

for all x€S

if f_n(x) → f(x) uniformly , g(x)€R

then g(x)*f_n(x) → g(x)*f(x) uniformly???????


感覺是對的  可是證不出來

因為雖然 │f_n(x) - f(x)│< ε 所需之N_ε與x無關

可是如果你取ε/│g(x)│時，就會變成N_ε(x) , 與x有關了


所以有無此反例????

因為感覺

g(x)* lim f_n(x) = lim g(x)*f_n(x) 是很顯然的
     n→∞        n→∞

但是f_n(x)與f(x)夠進所需要的共同足碼

不一定能讓 g(x)*f_n(x) 與 g(x)*f(x) 夠進


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◆ From: 1.169.135.155
推 bineapple   :domain是R嗎? 感覺不一定對 g可以是nbdd
→ bineapple   :f_n(x)=1/n f(x)=0 g(x)=e^x for all x in R
→ bineapple   :如果g是bdd就很顯然是對了
推 s3300046    :g需要bdd才行，反例可以找f_n(x)=1/n,g(x)=x