[微積] 連續函數與不動點一題

[pentiumevo (神秘數學組織SIGMA)]

如果f在R上連續,且f(f(0))=0,證明存在c使得f(c)=c

我不知道如何下手,麻煩大家了,謝謝

如果很trivial,別笑太大聲,前幾天才耍笨一次XD

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近年來總有一小股別有用心的人在社會上傳播各種小道消息，畜意醜化大學教授形象，

最出名的一句是：「白天是教授，晚上是禽獸。」王XX教授用實際行動給了這些人一

記響亮的回擊：白天，我們也是禽獸！

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◆ From: 125.233.16.196
→ wickeday    :把f(0)>0、f(0)=0、f(0)<0分開證
→ keroro321   :let g(x)=x-f(x)
    感謝w大與k大的提示,真是一語驚醒夢中人,我把解答寫完整好了

    若f(0)=0,那取c=0

    若f(0)=m>0,命g(x)=x-f(x),因f是R上的連續函數,而x也是R上的連續函數,所以g是R

上的連續函數.由題設,g(0)=0-f(0)=-m<0,而g(m) = m-f(m) = m-0 = m > 0.此時由介值

定理知在(0,m)中必存在c使得g(c)=0,所以得到f(c)=c.

   若f(0)=n<0,命g(x)=x-f(x),同上段理由,g是R上的連續函數.g(0) = -n >0,

g(n) = n-f(n)=n<0,所以由介值定理得證
※ 編輯: pentiumevo      來自: 125.233.16.196       (08/29 20:01)
※ 編輯: pentiumevo      來自: 140.114.32.189       (08/30 08:55)
推 CKIIIIII    :等等...f(m)怎麼會是0?
→ CKIIIIII    :沒事...看到了