推 pentiumevo :大家對這題都很感興趣XD 08/30 23:34
※ 引述《pentiumevo (神秘數學組織SIGMA)》之銘言：
: 題目:試利用均值定理證明 當x>0, sqrt(1+x) < 1+ x/2
: 我想不出如何用均值定理證出這結果(此時還不能用遞增遞減判斷)
: 我只能用高中的方法
: 既然兩邊都是正的,那都平方一下比大小,這樣就得到要證的
: 但我還是很想知道如何用均值定理證這題
: 麻煩各位了,謝謝
設 f(x) = sqrt(1+x) , a 是一個大於零的實數
1. f(x) 在 [0,a] 連續
2. f(x) 在 (0,a) 可微, 且 f'(x) = 1/[2*sqrt(1+x)] < 1/2
根據均值定理, (0,a) 中找得到 c 使得 f(a)-f(0) = f'(c) * (a-0)
故 f(a)-f(0) = f'(c) * (a-0) = f'(c) * a < a/2
==> f(a) < f(0) + a/2
==> sqrt(1+a) < 1+ a/2
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※ 編輯: CaptainH 來自: 122.124.101.231 (08/30 22:46)