Re: [其他] 想了兩個多小時...

[FAlin (FA = ハガレン)]

※ 引述《Leebai (李白)》之銘言：
: http://mykomica.org/boards/shieiuping/math/src/1314801750480.jpg
: 資優班學生扔出來的問題，想了兩個多小時未果
: x1是正實數  救救我吧..

x_1~x_n 為正實數

證明：

x_1   x_2         x_n-1   x_n     x_2 2    x_3 2          x_n  2    x_1 2
--- + --- + ... + ----- + --- ≦ (---)  + (---) + ... + (-----)  + (---)
x_2   x_3          x_n    x_1     x_1      x_2           x_n-1      x_n

假設 x_2 / x_1 為 a_1  x_3 / x_2 為 a_2 以此類推

         n   1     n     2
可改寫為 Σ --- ≦ Σ a_i  而且 a_1 * a_2 * ... * a_n = 1
         1  a_i    1

由廣義(冪)平均不等式(對任何實數都成立)，

        3-n    2    3      2     2           2
則有    --- a_1  + ---( a_2 + a_3 + ... + a_n )
        2n         2n
        ---------------------------------------  ≧
               3-n      3
               ---  +  --- * (n-1)
               2n      2n

   3-n                          3    3-n      3
   ---                         ---   ---  +  --- * (n-1)
    n                           n    2n      2n
(a_1  * [a_2 * a_3 * ... * a_n ]   )


       -1 1    1
=  (a_1  )  = ---
              a_1


輪換後把所有不等式加起來即可



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 219.80.136.154
→ doublewhi   :我只想到相乘等於1 要做到平方和大於倒數和 就卡了@@
推 Frobenius   :(3-2n)/2n怎麼來的？ ^^
→ FAlin       :假設 x (a_1^2) y (a_2^2~a_n^2) 然後解x y
→ FAlin       :有 x + (n-1)y = 1 跟 2y - 2x = 1
推 Leebai      :大感恩!!!!
推 LimSinE     :n=4，三個a_i=3，a_4=1/27，反例