Re: [其他] 數值分析 - 非整數次方 (幕次)

[Sfly (topos)]

※ 引述《driftseed (阿輝)》之銘言：
: ※ 引述《EdisonX (閉上眼的魚)》之銘言：
: : 大家好，我想知道一些非整數次方的算法，不用計算機，用手算即可，
: : 只考慮實數係即可，可假設容許誤差為 10 ** -3。
: : 我找過一些資料了，目前比較有用的想法，以下面例子帶出 (恕數學不好)。
: :    2.5 ** 3.12
: : =  2.5 ** (3.0 + 0.12)
: : = (2.5 ** 3.0) * (2.5 ** 0.12)
: : = (2.5 ** 3.0) * (2.5 ** (12 / 100) )
: : = (2.5 ** 3.0) * ( (2.5 ** 12) ** 0.01 )
: : 這樣是先化成 (整數 + 小數)，再將小數化成分數去計算，
: : 但還是卡在 2.5 ** 0.01 (開 100 次根) 該如何算？
: : 若真如此計算，速度略嫌慢，且在小數化為分數再計算時，
: : 又怕誤差更大了。
: : 不知各位對於這問題有什麼想法？謝謝大家。
: 2.5^0.12 按計算機的結果為 1.116227714
: 計算方式為：
: 估計一：
: 2.5^0.12 ≒ (1.5*1.66667)^0.12 = (1.5^0.12) * (1.66667^0.12)
: 而 1.5^0.12 ≒ 1+0.5*0.12 = 1.006
:    1.66667^0.12 ≒ 1+0.66667*0.12 ≒ 1.0800004
: 故 2.5^0.12 ≒ 1.006*1.0800004 = 1.08648  誤差2.7%
: 估計二：
: 2.5^0.12 ≒ {(1.2^5)*1.00469}^0.12 = (1.2^0.6) * (1.00469^0.12)
: 而 1.2^0.6 ≒ 1+0.2*0.6 = 1.12
:    1.00469^0.12 ≒ 1+0.00469*0.12 = 1.0005628
: 故 2.5^0.12 ≒1.12*1.0005628=1.12063  誤差0.4%
: 若 a、b 趨近於 0 時則有：
:             b
:        (1+a)   ≒ 1 + ab


當底數是 a=e 的時候, a^b 是很容易計算的,
利用自然對數, 可以得到

2.5^0.12 = e^0.12*(2.5/e)^0.12

        ~ e^0.12 *[ 1+ 0.12*(2.5/e - 1)]

e^0.12=1+0.12+0.12^2/2 +0.12^3/6+...
      ~1.12+0.0072+0.0003 = 1.1275

Thus, 2.5^0.12 ~ 1.1275*(1 - 0.0096) ~ 1.1275-0.0108 = 1.1166


誤差 0.03%











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◆ From: 131.215.220.164
→ EdisonX     :耶,這樣的話不就可以直接用換底算就好,都不用化簡了?
→ Sfly        :換底其實要算一下log
→ EdisonX     :嗯嗯, 謝謝您的指教, 受益匪淺
推 driftseed   :好方法