作者endlesschaos (佐佐木信二)
看板Math
標題Re: [工數] 複變積分
時間Thu Sep 8 13:39:22 2011
※ 引述《kilikolo0218 (小霸王)》之銘言：
: 某年台大機械的考題
: ∞ 3x+2
: ∫ ---------------dx
: -∞ x(x-4)(x^2+9)
: 可以請教用複變的方式解題嗎
: 感謝
考慮包含第一、第二象限之半徑無限大之半圓之路徑積分
3z + 2
∮ ---------------- dz = ∫ + ∫ = 2πi * Res(3i) + πi * [Res(0) + Res(4)]
z(z-4)(z^2 + 9) C1 C2
其中 C1 路徑為實數軸
C2 路徑為半圓圓周
而在 ∫ 上，z：-∞ → ∞
C1
∞ 3z + 2 ∞ 3x + 2
∫ = ∫ ----------------- dz = ∫ ----------------- dx = 所求
C1 -∞ z(z-4)(z^2 + 9) -∞ x(x-4)(x^2 + 9)
iθ
在 ∫ 上，z = Re ， R → ∞ ， θ：0 ～ π
C2
iθ
π 3Re + 2 iθ
∫ = lim ∫ ----------------------------- * iRe dθ
C2 R→∞ 0 iθ iθ 2 i2θ
Re (Re - 4)(R e + 9)
iθ
π 3i * Re + 2i
= lim ∫ ------------------------------------ dθ
R→∞ 0 3 i3θ 2 i2θ iθ
R e - 4R e + 9Re - 36
= 0 (分母 R 次數高於分子，當 R 趨近無限大時會收斂到 0)
1 7 -19 + 42i
又 Res(0) = - ----、Res(4) = ----、Res(3i) = -----------
18 50 450
故 2πi * Res(3i) + πi * [Res(0) + Res(4)]
-42π - 19πi 19πi 14
= --------------- + ------------- = - ----π = 所求
225 225 75 #
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◆ From: 140.112.44.41
※ 編輯: endlesschaos 來自: 140.112.44.41 (09/08 13:41)
推 ntust661 :頭推 09/08 13:43
推 kilikolo0218:感謝解答,完全了解了 09/08 14:11
推 Frobenius :推！ 09/08 22:06
推 kermomo :推推 09/09 14:50
→ dogy007 :C1 經過 0, 4 兩個 poles，這不是很奇怪嗎 09/09 17:46
→ dogy007 :另外，那個暇機分其實並不收斂 09/09 17:47
→ dogy007 :計算出來的值，應該是 Cauchy Principal Value 09/09 17:48
→ endlesschaos:是這樣沒錯 但工數答案要的僅是柯西主值而已 利用 09/09 20:38
→ endlesschaos:避點積分方式我們可以得到任何在積分路徑上單一一階 09/09 20:39
→ endlesschaos:奇異點的積分值 即使它並不收斂 09/09 20:39